Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2025

Cuestión 3A.

a) [1,25] Determine el valor de $a$ y $b$ para que el plano $\pi :2x+y+az=b$ contenga a la recta $r:\{\begin{array}{l}x+y+z=1\\ -x-2y+z=0\end{array}$.
b) [1,25] ¿Para qué valores de $a$ y $b$ corta $r$ a $\pi$? Halle el punto de corte en el caso $a=0$ y $b=7$.

Antes de nada pasamos la recta a paramétricas, que es la forma cómoda para trabajar con el plano. Sumando las dos ecuaciones desaparece $x$:

$-y+2z=1\Rightarrow y=2z-1$

$x=1-y-z=2-3z$

$r:\{\begin{array}{l}x=2-3t\\ y=-1+2t\\ z=t\end{array}\Rightarrow P(2,-1,0),\vec{u}=(-3,2,1)$

El plano $\pi :2x+y+az=b$ tiene vector normal $\vec{n}=(2,1,a)$.



Que el plano contenga a la recta exige dos cosas: que la dirección de la recta sea paralela al plano y que un punto de ella esté en el plano.

$\vec{u}\cdot \vec{n}=-6+2+a=a-4$

$a-4=0\Rightarrow a=4$

Imponemos ahora que $P(2,-1,0)\in \pi$:

$2\cdot 2+(-1)+4\cdot 0=b\Rightarrow b=3$

Lo comprobamos con un segundo punto de la recta, $Q(-1,1,1)$, que se obtiene para $t=1$:

$2(-1)+1+4\cdot 1=3=b$

El plano contiene a la recta si y solo si $a=4$ y $b=3$.





La recta corta al plano en un único punto justo cuando su director no es perpendicular a la normal, es decir, cuando no se anula el producto escalar que ya hemos calculado.

$\vec{u}\cdot \vec{n}=a-4\mathrm{\ne }0\Rightarrow a\mathrm{\ne }4$

En ese caso la recta atraviesa el plano sea cual sea $b$. Si $a=4$ la recta es paralela al plano: está contenida en él cuando $b=3$ y no lo corta cuando $b\mathrm{\ne }3$.

Para $a=0$ y $b=7$ el plano es $\pi :2x+y=7$ y, como $0\mathrm{\ne }4$, hay un único punto de corte. Sustituimos las paramétricas de la recta:

$2(2-3t)+(-1+2t)=7\Rightarrow 3-4t=7\Rightarrow t=-1$

$x=2+3=5,y=-1-2=-3,z=-1$

Comprobamos que el punto está en las dos ecuaciones de la recta y en la del plano: $5-3-1=1$, $-5+6-1=0$ y $10-3=7$.

La recta corta al plano para cualquier $a\mathrm{\ne }4$ y cualquier $b$; en el caso $a=0$, $b=7$ el punto de corte es $(5,-3,-1)$.