Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2024

Cuestión 6.

Considere los planos $x+y+z=-3$ y $x+y-z=3$ y la recta $r:{\displaystyle \frac{x-1}{2}}={\displaystyle \frac{y+1}{1}}={\displaystyle \frac{z}{3}}$.

a) [0,75] Compruebe que ambos planos se cortan y calcule el ángulo que forman.
b) [0,75] Estudie la posición relativa de la recta $r$ con el plano $x+y-z=3$.
c) [1] Determine los puntos de la recta $r$ que equidistan de ambos planos.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{[0,75]}}\mathbf{\text{Compruebe}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{ambos}}\mathbf{\text{planos}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{cortan}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{calcule}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ngulo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{forman.}}$

Los vectores normales de los planos son

${\vec{n}}_1=(1,1,1),{\vec{n}}_2=(1,1,-1)$

No son proporcionales, porque las dos primeras componentes coinciden y la tercera cambia de signo, luego los planos no son paralelos y se cortan en una recta. El ángulo que forman es el de sus normales, y lo obtenemos del producto escalar.

$\cos \theta ={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }{\vec{n}}_1\cdot {\vec{n}}_2\mathrm{\mid }}{\mathrm{\mid }{\vec{n}}_1\mathrm{\mid }\mathrm{\mid }{\vec{n}}_2\mathrm{\mid }}}={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }1+1-1\mathrm{\mid }}{\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$

$\theta =\arccos {\displaystyle \frac{1}{3}}\approx {\mathrm{70,53}}^{\circ }$

Los dos planos se cortan formando un ángulo de unos ${70}^{\circ }{31}^{\mathrm{\prime }}$.





De la ecuación continua de la recta leemos un punto y su vector director.

$P(1,-1,0),\vec{v}=(2,1,3)$

Comparamos la dirección de la recta con la normal del plano:

$\vec{v}\cdot {\vec{n}}_2=2+1-3=0$

Al anularse, la recta es paralela al plano o está contenida en él. Comprobamos el punto de paso:

$1+(-1)-0=0\mathrm{\ne }3$

La recta $r$ es paralela al plano $x+y-z=3$ y exterior a él.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{[1]}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{puntos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{recta}}\mathit{r}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{equidistan}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ambos}}\mathbf{\text{planos.}}$

Escribimos un punto genérico de la recta y le imponemos que sus distancias a los dos planos coincidan. Como ambas normales tienen el mismo módulo, $\sqrt{3}$, basta igualar los valores absolutos de los numeradores.

$Q(t)=(1+2t,-1+t,3t)$

$x+y+z+3=(1+2t)+(-1+t)+3t+3=6t+3$

$x+y-z-3=(1+2t)+(-1+t)-3t-3=-3$

$\mathrm{\mid }6t+3\mathrm{\mid }=3$

Desdoblamos la ecuación con valor absoluto:

$\{\begin{array}{l}6t+3=3\Rightarrow t=0\\ 6t+3=-3\Rightarrow t=-1\end{array}$

$Q_1(1,-1,0),Q_2(-1,-2,-3)$

En los dos casos la distancia común vale ${\displaystyle \frac{3}{\sqrt{3}}}=\sqrt{3}$. Los puntos de la recta que equidistan de ambos planos son $A(1,-1,0)$ y $B(-1,-2,-3)$.