Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2020

Problema 5.

Se dan el plano $\pi :2x+y-z-5=0$ y los puntos $A(1,2,-1),B(2,1,0)$. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a) La ecuación implícita del plano que pasa por los puntos $A,B$ y es perpendicular a $\pi$. (4 puntos)
b) Las ecuaciones paramétricas de la recta $r$ que es perpendicular a $\pi$ y pasa por $A$. Encuentra dos planos cuya intersección sea la recta $r$. (1+2 puntos)
c) La distancia entre el punto $B$ y la recta $r$. (3 puntos)

$\sigma \perp \pi \Rightarrow {\vec{n}}_{\pi }$ es vector director de $\sigma$, ${\vec{n}}_{\pi }=(2,1,-1)$

$\overrightarrow{AB}$ es vector director de $\sigma$, $\overrightarrow{AB}=(1,-1,1)$

$A$ y $B\in \sigma \Rightarrow$ Tomamos $B$ como punto de $\sigma$

La ecuación del plano $\sigma$,

$\mid \begin{array}{ccc}x-2& y-1& z-0\\ 2& 1& -1\\ 1& -1& 1\end{array}\mid =0\Rightarrow (x-2)\mid \begin{array}{cc}1& -1\\ -1& 1\end{array}\mid -(y-1)\mid \begin{array}{cc}2& -1\\ 1& 1\end{array}\mid +z\mid \begin{array}{cc}2& 1\\ 1& -1\end{array}\mid =0$

$(x-2)\cdot 0-(y-1)\cdot 3+z\cdot (-3)=0\Rightarrow -3y+3-3z=0\Rightarrow y+z-1=0$

Por lo tanto, la ecuación del plano $\sigma$ es: $y+z-1=0$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Las}}\mathbf{\text{ecuaciones}}\mathbf{\text{param}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{tricas}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{recta}}\mathit{r}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{perpendicular}}\mathbf{\text{a}}\mathit{\pi }\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{pasa}}\mathbf{\text{por}}\mathit{A}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{Encuentra}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{planos}}\mathbf{\text{cuya}}\mathbf{\text{intersecci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{recta}}\mathit{r}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{(1+2}}\mathbf{\text{puntos)}}$

De la recta r conocemos:punto