Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2022

Problema 4.
Dados los puntos $A=(2,1,-2)$ y $B=(3,2,3)$, y el plano $\pi$ definido por $2x+2y+z=3$, obtener:
a) El punto de corte $C$ entre el plano $\pi$ y la recta perpendicular a $\pi$ que pasa por $B$. (5 puntos)
b) El área del triángulo cuyos vértices son $A$, $B$ y $C$. (5 puntos)

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{corte}}\mathit{C}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{plano}}\mathit{\pi }\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{recta}}\mathbf{\text{perpendicular}}\mathbf{\text{a}}\mathit{\pi }\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{pasa}}\mathbf{\text{por}}\mathit{B}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{(5}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Llamando r a la recta perpendicular a $\pi$ que pasa por$B$.
Obtengamos la ecuación de $r$.
De la recta $r$ conocemos: $\text{punto }B(3,2,3)$ $\text{y el vector director }{\vec{v}}_r={\vec{n}}_{\pi }=(2,2,1)$

$r:\{\begin{array}{l}x=3+2\lambda \\ y=2+2\lambda \\ z=3+\lambda \end{array}\lambda \in \mathbb{R}$

Sustituyendo los valores de $x,y,z$ de $r$ en la ecuación del plano $\pi \Rightarrow 2(3+2\lambda )+2(2+2\lambda )+3+\lambda =3\Rightarrow 6+4\lambda +4+4\lambda +3+\lambda =3$

$9\lambda +13=3\Rightarrow 9\lambda =-10\Rightarrow \lambda =-\frac{10}{9}$
El punto $C$ lo obtenemos sustituyendo este valor de $\lambda$ en la ecuación de $r$: $\{\begin{array}{l}x=3+2(-\frac{10}{9})=\frac{7}{9}\\ y=2+2(-\frac{10}{9})=-\frac{2}{9}\\ z=3+(-\frac{10}{9})=\frac{17}{9}\end{array}$
Solución: $C=(\frac{7}{9},-\frac{2}{9},\frac{17}{9})$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{El}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{rea}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{tri}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ngulo}}\mathbf{\text{cuyos}}\mathbf{\text{v}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{rtices}}\mathbf{\text{son}}\mathit{A}\mathbf{\text{,}}\mathit{B}\mathbf{\text{y}}\mathit{C}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{(5}}\mathbf{\text{puntos)}}$

El área de este triángulo la calculamos mediante la fórmula:$A_t=\frac{1}{2}\mid \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{BC}\mid$

$\overrightarrow{AB}=(1,1,5),\overrightarrow{BC}=(\frac{7}{9}-3,-\frac{2}{9}-2,\frac{17}{9}-3)=(-\frac{20}{9},-\frac{20}{9},-\frac{10}{9})$

$\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{BC}=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 1& 1& 5\\ -\frac{20}{9}& -\frac{20}{9}& -\frac{10}{9}\end{array}\mid =-\frac{10}{9}\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 1& 1& 5\\ 2& 2& 1\end{array}\mid$=$-\frac{10}{9}(\vec{i}(1-10)-\vec{j}(1-10)+\vec{k}(2-2))=-\frac{10}{9}(-9\vec{i}+9\vec{j})=10\vec{i}-10\vec{j}=(10,-10,0)$

$\mid \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{BC}\mid =\sqrt{{10}^2+(-10{)}^2+0^2}=10\sqrt{2}$

$A_t=\frac{1}{2}\cdot 10\sqrt{2}=5\sqrt{2}\text{ u.a.}\approx 7^{\mathrm{\prime }}0711\text{ u.a.}$

El área del triángulo pedida es $5\sqrt{2}\text{ u.a.}$.