Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2022

Problema 4.
Dados los planos ${\pi }_1:2x-y-z+4=0$ y ${\pi }_2:\{\begin{array}{l}x=-1+\alpha \\ y=1+\alpha +\beta \\ z=\alpha -\beta \end{array}$, y la recta $r:\frac{x-1}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z-2}{-1}$.
a) Calcular la posición relativa de ${\pi }_1$ y ${\pi }_2$. (3 puntos)
b) Calcular el punto $P^{\mathrm{\prime }}$ que es simétrico al punto $P=(1,0,0)$ respecto del plano ${\pi }_1$. (4 puntos)
c) Calcular, si existe, el punto de intersección de ${\pi }_1$ y $r$. (3 puntos)

Obtengamos la ecuación general de ${\pi }_2$.

$\text{punto }(-1,1,0)$ $\text{vectores }\vec{u}=(1,1,1),\vec{v}=(0,1,-1)$

$\Rightarrow {\pi }_2:\mid \begin{array}{ccc}x+1& y-1& z\\ 1& 1& 1\\ 0& 1& -1\end{array}\mid =0$

$(x+1)\mid \begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\mid -(y-1)\mid \begin{array}{cc}1& 1\\ 0& -1\end{array}\mid +z\mid \begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\mid =0$

$(x+1)(-2)-(y-1)(-1)+z\cdot 1=0$

$-2x-2+y-1+z=0\Rightarrow -2x+y+z-3=0\Rightarrow 2x-y-z+3=0$

Los planos son:

$\pi :2x-y-z+4=0$

${\pi }_2:2x-y-z+3=0$

Como los coeficientes de $x,y,z$ son proporcionales (iguales en este caso) pero los términos independientes no proporcionales $(\frac{2}{2}=\frac{-1}{-1}=\frac{-1}{-1}\mathrm{\ne }\frac{4}{3})$

los planos son paralelos no coincidentes.

Solución: $\pi$ y ${\pi }_2$ son planos paralelos no coincidentes.











$\pi ;2x-y-z+4=0$

Calculemos la ecuación de una recta $s$, que pasa por $P$ y es perpendicular a $\pi$.
$\text{punto }P(1,0,0),\text{vector director }\vec{v}={\vec{n}}_{\pi }=(2,-1,-1)$

$s:\{\begin{array}{l}x=1+2\lambda \\ y=-\lambda \\ z=-\lambda \end{array}$





Calculemos el punto $M$ intersección de $s$ y $\pi$.

Sustituimos los valores de $x,y,z$ de la recta en la ecuación del plano:

$2(1+2\lambda )-(-\lambda )-(-\lambda )+4=0$

$2+4\lambda +\lambda +\lambda +4=0$

$6\lambda +6=0\Rightarrow 6\lambda =-6\Rightarrow \lambda =-1$

Sustituyendo este valor de $\lambda$ en la ecuación de $s$ obtenemos $M$.

$\{\begin{array}{l}x=1+2(-1)=-1\\ y=-(-1)=1\\ z=-(-1)=1\end{array}\Rightarrow M(-1,1,1)$

$P\text{′}$ será el simétrico de $P$ respecto de $M$,

$\frac{P+P^{\mathrm{\prime }}}{2}=M;\Rightarrow P^{\mathrm{\prime }}=2M-P=2(-1,1,1)-(1,0,0)=(-3,2,2)$

Solución: el simétrico de $P$ respecto de π es $P^{\mathrm{\prime }}(-3,2,2)$.




Nos interesan las ecuaciones paramétricas de $r$.

$r:\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{2}=\frac{z-2}{-1}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=1+\lambda \\ y=2\lambda \\ z=2-\lambda \end{array}$

Sustituyendo en la ecuación del plano $\pi :2x-y-z+4=0$,

$2(1+\lambda )-2\lambda -(2-\lambda )+4=0$

$2+2\lambda -2\lambda -2+\lambda +4=0$

$\lambda +4=0\Rightarrow \lambda =-4$

Sustituyendo este valor de $\lambda$ en la ecuación de $r$ obtenemos el punto buscado.

$\{\begin{array}{l}x=1+(-4)=-3\\ y=2(-4)=-8\\ z=2-(-4)=6\end{array}$

Por tanto, existe el punto de corte entre $r$ y $\pi$ y es el punto $(-3,-8,6)$.