Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2025

Cuestión 3A.

Considere las rectas $r:\{\begin{array}{l}x=1\\ y=5+\lambda \\ z=\lambda \end{array}$ y $s:\{\begin{array}{l}x=7+3\mu \\ y=-5+\mu \\ z=7\end{array}$.

a) [0,5] Compruebe que se cruzan.
b) [1,5] Halle la ecuación de la recta perpendicular a ambas.
c) [0,5] Calcule la distancia entre $r$ y $s$.

De las ecuaciones paramétricas leemos un punto y un vector director de cada recta.

$A(1,5,0),\vec{u}=(0,1,1)$

$B(7,-5,7),\vec{v}=(3,1,0)$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{[0,5]}}\mathbf{\text{Compruebe}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{cruzan.}}$

Dos rectas se cruzan cuando no son paralelas y además no son coplanarias. Los directores no son proporcionales, porque la primera componente de $\vec{u}$ es nula y la de $\vec{v}$ no, luego las rectas no son paralelas.

Para lo segundo estudiamos el producto mixto del vector que une los dos puntos con los dos directores: si se anulara, las tres direcciones serían coplanarias y las rectas se cortarían.

$\overrightarrow{AB}=(6,-10,7)$

$[\overrightarrow{AB},\vec{u},\vec{v}]=\mid \begin{array}{ccc}6& -10& 7\\ 0& 1& 1\\ 3& 1& 0\end{array}\mid =-6-51=-57$

Como $-57\mathrm{\ne }0$, no hay ningún plano que contenga a las dos rectas. Al no ser paralelas y no cortarse, $r$ y $s$ se cruzan.



$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{[1,5]}}\mathbf{\text{Halle}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{ecuaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{recta}}\mathbf{\text{perpendicular}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{ambas.}}$

La perpendicular común lleva la dirección del producto vectorial de los dos directores, que es perpendicular a los dos a la vez.

$\vec{w}=\vec{u}\times \vec{v}=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 0& 1& 1\\ 3& 1& 0\end{array}\mid =(-1,3,-3)$

Falta un punto. Tomamos el pie sobre cada recta, $P\in r$ y $Q\in s$, e imponemos que el vector que los une sea perpendicular a ambos directores.

$P(1,5+\lambda ,\lambda ),Q(7+3\mu ,-5+\mu ,7)$

$\overrightarrow{PQ}=(6+3\mu ,-10+\mu -\lambda ,7-\lambda )$

$\{\begin{array}{l}\overrightarrow{PQ}\cdot \vec{u}=0\\ \overrightarrow{PQ}\cdot \vec{v}=0\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}-2\lambda +\mu -3=0\\ -\lambda +10\mu +8=0\end{array}$

$\lambda =-2,\mu =-1$

Sustituyendo $\lambda =-2$ en $r$ obtenemos el pie $P(1,3,-2)$, y con él ya podemos escribir la recta:

$t:{\displaystyle \frac{x-1}{-1}}={\displaystyle \frac{y-3}{3}}={\displaystyle \frac{z+2}{-3}}$

La perpendicular común pasa por $P(1,3,-2)$ y tiene por vector director $\vec{w}=(-1,3,-3)$.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{[0,5]}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{distancia}}\mathbf{\text{entre}}\mathit{r}\mathbf{\text{y}}\mathit{s}\mathbf{\text{.}}$

Al cruzarse, la distancia entre ambas es el cociente entre el valor absoluto del producto mixto y el módulo del producto vectorial, y los dos los tenemos ya calculados.

$d(r,s)={\displaystyle \frac{\mid [\overrightarrow{AB},\vec{u},\vec{v}]\mid }{\mathrm{\mid }\vec{u}\times \vec{v}\mathrm{\mid }}}={\displaystyle \frac{57}{\sqrt{1+9+9}}}={\displaystyle \frac{57}{\sqrt{19}}}$

$d(r,s)={\displaystyle \frac{57\sqrt{19}}{19}}=3\sqrt{19}$

La distancia entre las dos rectas es $3\sqrt{19}\approx \mathrm{13,08}$ unidades de longitud, que es justamente la longitud del segmento $\overline{PQ}$ de la perpendicular común.