Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2024

Cuestión 5.

Considere los planos $x-y-z=0$ y $x+y-z=2$ y los puntos $P(1,2,3)$ y $Q(1,1,3)$.

a) [0,75] Compruebe que ambos planos se cortan en una recta $r$ y calcule la ecuación continua de dicha recta.
b) [1] Compruebe que el punto $P$ no está en ninguno de los dos planos y calcule la ecuación de la recta que pasa por $P$ y no corta a ninguno de los dos planos.
c) [0,75] Determine el punto de la recta $r$ que equidista de $P$ y de $Q$.

Los planos ${\pi }_1:x-y+z=0$ y ${\pi }_2:x+y-z=2$ tienen por vectores normales

${\vec{n}}_1=(1,-1,1),{\vec{n}}_2=(1,1,-1)$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{[0,75]}}\mathbf{\text{Compruebe}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{ambos}}\mathbf{\text{planos}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{cortan}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{recta}}\mathit{r}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{ecuaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{continua}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{dicha}}\mathbf{\text{recta.}}$

Las normales no son proporcionales, luego los planos no son paralelos y se cortan en una recta. Su dirección es perpendicular a las dos normales, así que la obtenemos con el producto vectorial.

$\vec{d}={\vec{n}}_1\times {\vec{n}}_2=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 1& -1& 1\\ 1& 1& -1\end{array}\mid =(0,2,2)$

que simplificamos a $\vec{d}=(0,1,1)$. Para el punto de paso resolvemos el sistema: sumando las dos ecuaciones se obtiene $2x=2$, y tomando $z=0$ en la primera queda $y=1$.

$A(1,1,0)$

$r:{\displaystyle \frac{x-1}{0}}={\displaystyle \frac{y-1}{1}}={\displaystyle \frac{z}{1}}$



$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{[1]}}\mathbf{\text{Compruebe}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{punto}}\mathit{P}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{est}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{ninguno}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{planos}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{ecuaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{recta}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{pasa}}\mathbf{\text{por}}\mathit{P}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{corta}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{ninguno}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{planos.}}$

Sustituimos $P(1,2,3)$ en cada ecuación:

${\pi }_1:1-2+3=2\mathrm{\ne }0$

${\pi }_2:1+2-3=0\mathrm{\ne }2$

El punto no pertenece a ninguno de los dos planos. Una recta no corta a un plano exactamente cuando es paralela a él sin estar contenida, así que su dirección ha de ser perpendicular a las dos normales: sirve el mismo $\vec{d}=(0,1,1)$ del apartado anterior.

$s:{\displaystyle \frac{x-1}{0}}={\displaystyle \frac{y-2}{1}}={\displaystyle \frac{z-3}{1}}$

Como $P$ no está en ninguno de los planos, esa recta es estrictamente paralela a ambos y no los corta.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{[0,75]}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{recta}}\mathit{r}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{equidista}}\mathbf{\text{de}}\mathit{P}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{de}}\mathit{Q}\mathbf{\text{.}}$

Escribimos un punto genérico de $r$ y le imponemos que sus distancias a $P$ y a $Q$ coincidan; para evitar las raíces igualamos los cuadrados.

$X(1,1+t,t)$

$\mathrm{\mid }\overrightarrow{XP}{\mathrm{\mid }}^2=(1+t-2{)}^2+(t-3{)}^2=(t-1{)}^2+(t-3{)}^2$

$\mathrm{\mid }\overrightarrow{XQ}{\mathrm{\mid }}^2=(1+t-1{)}^2+(t-3{)}^2=t^2+(t-3{)}^2$

$(t-1{)}^2=t^2\Rightarrow -2t+1=0\Rightarrow t={\displaystyle \frac{1}{2}}$

$X=(1,{\displaystyle \frac{3}{2}},{\displaystyle \frac{1}{2}})$

Comprobamos el resultado: la primera coordenada de $P$ y $Q$ es la misma y sus terceras también, así que el punto medio del segmento tiene ordenada $\frac{3}{2}$, y en efecto es la del punto hallado.

El punto de la recta $r$ que equidista de $P$ y de $Q$ es $A(1,{\displaystyle \frac{3}{2}},{\displaystyle \frac{1}{2}})$.