Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2020

Problema 2.

Sea la recta $r:\frac{x-1}{1}=\frac{y+1}{1}=\frac{z}{-1}$ y los puntos $P=(1,0,0)$ y $Q=(2,1,\alpha )$. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a) El valor de $\alpha$ para que la recta que pasa por $P$ y $Q$ sea paralela a $r$. (3 puntos)
b) La ecuación del plano que contiene a $P$ y $Q$ y es paralelo a $r$, cuando $\alpha =1$. (3 puntos)
c) La distancia del punto $Q$ al plano que pasa por $P$ y es perpendicular a $r$, cuando $\alpha =1$. (4 puntos)

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{de}}\mathit{\alpha }\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{recta}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{pasa}}\mathbf{\text{por}}\mathit{P}\mathbf{\text{y}}\mathit{Q}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{paralela}}\mathbf{\text{a}}\mathit{r}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{(3}}\mathbf{\text{puntos)}}$
La recta que pasa por $P$ y $Q$ tiene como vector director $\overrightarrow{PQ}=(2,1,\alpha )-(1,0,0)=(1,1,\alpha )\mathrm{.}$

El vector director de la recta $r$ es ${\vec{v}}_r=(1,1,-1)\mathrm{.}$

Para que sean paralelas deben tener vectores directores con coordenadas proporcionales:

${\vec{v}}_r=(1,1,-1)\text{y}\overrightarrow{PQ}=(1,1,\alpha )$

Por lo que $\frac{1}{1}=\frac{1}{1}=\frac{-1}{\alpha }\Rightarrow \boxed{{\displaystyle \alpha =-1}}\mathrm{.}$


El plano que contiene a $P$ y $Q$ tiene como uno de sus vectores directores

$\overrightarrow{PQ}=(2,1,\alpha )-(1,0,0)=(1,1,\alpha )=(1,1,1)\mathrm{.}$

Como es paralelo a la recta $r$, otro vector director es

${\vec{v}}_r=(1,1,-1)\mathrm{.}$

$\begin{array}{l}P(1,0,0)\in \pi \\ \vec{u}={\vec{v}}_r=(1,1,-1)\\ \vec{v}=\overrightarrow{PQ}=(1,1,1)\end{array}\}\Rightarrow \pi \equiv \mid \begin{array}{ccc}x-1& y& z\\ 1& 1& -1\\ 1& 1& 1\end{array}\mid =0$

$x-1-y+z-z-y+x-1=0$

$2x-2y-2=0\Rightarrow \boxed{{\displaystyle \pi \equiv x-y-1=0}}\mathrm{.}$


El plano ${\pi }^{\mathrm{\prime }}$ que es perpendicular a $r$ tiene como vector normal el director de ${\vec{v}}_r=(1,1,-1)\mathrm{.}$

Hallamos la ecuación de este plano:

$\begin{array}{l}P(1,0,0)\in {\pi }^{\mathrm{\prime }}\\ \vec{n}={\vec{v}}_r=(1,1,-1)\end{array}\}\Rightarrow P(1,0,0)\in {\pi }^{\mathrm{\prime }}\Rightarrow {\pi }^{\mathrm{\prime }}\equiv x+y-z+D=0$

$1+0-0+D=0\Rightarrow D=-1$

${\pi }^{\mathrm{\prime }}\equiv x+y-z-1=0$

Aplicamos la fórmula de la distancia de punto a plano.

$\begin{array}{l}Q(2,1,1)\\ {\pi }^{\mathrm{\prime }}\equiv x+y-z-1=0\end{array}\}\Rightarrow \text{distancia}(Q,{\pi }^{\mathrm{\prime }})=\frac{\mathrm{\mid }2+1-1-1\mathrm{\mid }}{\sqrt{1^2+1^2+(-1{)}^2}}=\boxed{{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}=0.577u}}$