Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2021

Problema 2.

Se dan las rectas $r:\{\begin{array}{l}x+y-1=0\\ 2x-z-1=0\end{array}$, $s:\frac{x-1}{1}=\frac{y}{-1}=\frac{z}{2}$ y el plano $\pi :x+my+z=2$ que depende del parámetro real $m$. Obtened:

a) La posición relativa de las rectas $r$ y $s$. (4 puntos)
b) El valor del parámetro $m$ para que la recta $r$ esté contenida en el plano $\pi$. (3 puntos)
c) Los puntos $A,B,C$ intersección del plano $\pi$ con los ejes de coordenadas cuando $m=2$, así como el volumen del tetraedro de vértices $A,B,C$ y $P(2,2,2)$. (3 puntos)

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{posici}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{relativa}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{rectas}}\mathit{r}\mathbf{\text{y}}\mathit{s}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{(4}}\mathbf{\text{puntos)}}$
Nos interesa obtener un punto y un vector director de cada una de las rectas.

$r:\{\begin{array}{l}x+y=-1\\ 2x-z=1\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}z=2x-1\\ y=-1-x\end{array}\Rightarrow r:\{\begin{array}{l}x=\lambda \\ y=-1-\lambda \\ z=-1+2\lambda \end{array},\lambda \in \mathbb{R}$

$P_r(0,-1,-1),{\vec{v}}_r=(1,-1,2)$

$s:\frac{x-1}{1}=\frac{y}{-1}=\frac{z}{2}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=1+\mu \\ y=-\mu \\ z=2\mu \end{array}$

$P_s(1,0,0),{\vec{v}}_s=(1,-1,2)$

Como ambos vectores directores son iguales, las rectas son paralelas. Falta determinar si son o no coincidentes.

Estudiamos la matriz $M=({\vec{v}}_r,{\vec{v}}_s,\overrightarrow{P_s{P}_r})$, es decir: $M=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ -1& -1& -1\\ 2& 2& 1\end{array}\right)$

Como las rectas son paralelas, $\mathrm{ran}(M)=1$.

Rango de $M$, $M$ es $3\times 3$, luego máximo rango de $M$ es $3$. $\Rightarrow$ Como las dos primeras columnas son iguales sabemos que $\mathrm{ran}(M)\le 2$.

El menor: $\mid \begin{array}{cc}1& 1\\ -1& -1\end{array}\mid =-1+2=1\mathrm{\ne }0$ Por tanto, $\mathrm{ran}(M)=2$.

Como $\mathrm{ran}(M)=2$, las rectas $r$ y $s$ son paralelas no coincidentes.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{par}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{metro}}\mathit{m}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{recta}}\mathit{r}\mathbf{\text{est}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{contenida}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{plano}}\mathit{\pi }\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{(3}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Si $r\subset \pi$, al sustituir los valores de $x,y,z$ de la recta en la ecuación del plano, esta debe cumplirse para cualquier valor de $\lambda$:

$\lambda +m(1-\lambda )+(-1+2\lambda )=2$

En esta ecuación la incógnita es $\lambda$: $\lambda +m-m\lambda +2\lambda -1=2$$\Rightarrow$$\lambda (3-m)+m=3$$\Rightarrow$$(3-m)\lambda =3-m$

Esta ecuación se cumpliría para cualquier valor de $\lambda$ cuando $3-m=0$, es decir $m=3$.

Otra forma de resolverlo es:
Si $r\subset \pi$, el vector director de la recta y el normal del plano serán perpendiculares.

${\vec{v}}_r=(1,-1,2),{\vec{n}}_{\pi }=(1,m,1)\Rightarrow {\vec{v}}_r\cdot {\vec{n}}_{\pi }=0$$\Rightarrow$$1-2m+2=3-m$$\Rightarrow$$3-m=0\Rightarrow m=3$

Y ahora comprobamos que para este valor de $m$ la recta está contenida en el plano:

$\lambda +3(1-\lambda )+(-1+2\lambda )=2$$\Rightarrow$$\lambda +3-3\lambda -1+2\lambda =2$

$2=2;\text{S}\acute{\text{ı}}$

En conclusión, para que la recta esté contenida en el plano debe ser $m=3$.



Corte del plano con los ejes coordenados:

$A$ = Eje $OX$ $\cap \pi$

Ecuación del eje $OX$: { punto $(0,0,0)$ →$\{\begin{array}{l}x=\lambda \\ y=0\\ z=0\end{array},\lambda \in \mathbb{R}$ }

Sustituyendo los valores de $x,y,z$ en la ecuación de $\pi$: $\lambda +2\cdot 0+0=2\Rightarrow \lambda =2\Rightarrow A(2,0,0)$

$B$ = Eje $OY$ $\cap \pi$

Ecuación del eje $OY$: { punto $(0,0,0)$ →$\{\begin{array}{l}x=0\\ y=\lambda \\ z=0\end{array},\lambda \in \mathbb{R}$ }

Sustituyendo los valores de $x,y,z$ en la ecuación de $\pi$: $0+2\lambda +0=2\Rightarrow \lambda =1\Rightarrow B(0,1,0)$

$C$ = Eje $OZ$ $\cap \pi$

Ecuación del eje $OZ$: { punto $(0,0,0)$ →$\{\begin{array}{l}x=0\\ y=0\\ z=\lambda \end{array},\lambda \in \mathbb{R}$ }

Sustituyendo los valores de $x,y,z$ en la ecuación de $\pi$: $0+0+\lambda =2\Rightarrow \lambda =2\Rightarrow C(0,0,2)$

Volumen del tetraedro de vértices $A,B,C$ y $P(2,2,2)$

$\overrightarrow{AP}=(0,2,2)$

$\overrightarrow{BP}=(2,1,2)$

$\overrightarrow{CP}=(2,2,0)$

$V=\frac{1}{6}\mid \begin{array}{ccc}0& 2& 2\\ 2& 1& 2\\ 2& 2& 0\end{array}\mid =\frac{1}{6}\mid 8+8-4\mid =2{\text{u}}^3$

Solución: $A(2,0,0);B(0,1,0);C(0,0,2)$ y el volumen del tetraedro de vértices $A,B,C$ y $P$ es $2{\text{u}}^3$.