Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2024

Cuestión 6.

Considere las siguientes rectas:
$r:\{\begin{array}{l}x+2y=13\\ z=2\end{array}\text{y}s:\{\begin{array}{l}y+2z=4\\ -x+y=3\end{array}$

a) [1] Compruebe que ambas rectas se cruzan en el espacio.
b) [0,5] Compruebe que el punto $P(0,3,0)$ no está en ninguna de las dos rectas.
c) [1] Calcule la ecuación del plano (en cualquiera de sus formas) que contiene al punto $P$ y es paralelo a ambas rectas.

Escribimos cada recta como punto más vector director. En $r$ se tiene $z=2$ y, tomando $y=t$, $x=13-2t$; en $s$, tomando $z=\lambda$, resulta $y=4-2\lambda$ y $x=y-3=1-2\lambda$.

$A(13,0,2),\vec{u}=(-2,1,0);B(1,4,0),\vec{v}=(-2,-2,1)$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{[1]}}\mathbf{\text{Compruebe}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{ambas}}\mathbf{\text{rectas}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{cruzan}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{espacio.}}$

Dos rectas se cruzan si no son paralelas y no son coplanarias. Los directores no son proporcionales, porque ${\displaystyle \frac{-2}{-2}}=1\mathrm{\ne }{\displaystyle \frac{1}{-2}}$, así que no son paralelas.

Para lo segundo calculamos el producto mixto con el vector que une un punto de cada una: si se anulara, habría un plano que las contendría a las dos.

$\overrightarrow{AB}=(-12,4,-2)$

$[\vec{u},\vec{v},\overrightarrow{AB}]=\mid \begin{array}{ccc}-2& 1& 0\\ -2& -2& 1\\ -12& 4& -2\end{array}\mid =-2\cdot 0-1\cdot 16=-16$

Al ser $-16\mathrm{\ne }0$ los tres vectores son linealmente independientes: las rectas $r$ y $s$ se cruzan en el espacio.



Basta sustituir sus coordenadas en las ecuaciones implícitas de cada recta.

$r:x+2y=0+6=6\mathrm{\ne }13$

$s:y+2z=3+0=3\mathrm{\ne }4$

En ambos casos falla ya la primera ecuación, luego $P$ no pertenece ni a $r$ ni a $s$.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{[1]}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{ecuaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{plano}}\mathbf{\text{(en}}\mathbf{\text{cualquiera}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{sus}}\mathbf{\text{formas)}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{contiene}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{punto}}\mathit{P}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{paralelo}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{ambas}}\mathbf{\text{rectas.}}$

Si el plano es paralelo a las dos rectas, los directores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ son paralelos a él y, al no ser proporcionales, sirven como vectores directores suyos. Su normal es el producto vectorial de ambos.

$\vec{n}=\vec{u}\times \vec{v}=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ -2& 1& 0\\ -2& -2& 1\end{array}\mid =(1,2,6)$

Imponemos que el plano pase por $P(0,3,0)$:

$x+2y+6z+D=0\Rightarrow 6+D=0\Rightarrow D=-6$

Comprobamos que ninguna de las rectas queda dentro del plano sustituyendo sus puntos de paso: $13+0+12-6=19\mathrm{\ne }0$ y $1+8+0-6=3\mathrm{\ne }0$.

El plano pedido es $\pi :x+2y+6z-6=0$, paralelo a las dos rectas y sin contener a ninguna.