Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2020

Problema 2.

Se dan los planos $\pi :x+y=1$ y ${\pi }^{\mathrm{\prime }}:x-y+z=1$ y el punto $P(1,-1,0)$. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a) Unas ecuaciones paramétricas de la recta $r$ que pasa por el punto $P$ y es paralela a los planos $\pi$ y ${\pi }^{\mathrm{\prime }}$. (3 puntos)
b) La distancia de la recta $r$ a cada uno de los planos $\pi$ y ${\pi }^{\mathrm{\prime }}$. (3 puntos)
c) Las ecuaciones de la recta que pasa por $P$ y corta perpendicularmente a la recta obtenida como intersección de los planos $\pi$ y ${\pi }^{\mathrm{\prime }}$. (4 puntos)

$\mathbf{\text{Obtener}}\mathbf{\text{razonadamente,}}\mathbf{\text{escribiendo}}\mathbf{\text{todos}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{pasos}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{razonamiento}}\mathbf{\text{utilizado:}}$


$\pi :x+y-1=0,{\pi }^{\mathrm{\prime }}:x-y+z-1=0$

${\vec{n}}_{\pi }=(1,1,0),{\vec{n}}_{{\pi }^{\mathrm{\prime }}}=(1,-1,1)$

$\text{El vector director de la recta }r\text{ debe ser paralelo a ambos planos}$

$\vec{v}={\vec{n}}_{\pi }\times {\vec{n}}_{{\pi }^{\mathrm{\prime }}}=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 1& 1& 0\\ 1& -1& 1\end{array}\mid =\vec{i}(1\cdot 1-0\cdot (-1))-\vec{j}(1\cdot 1-0\cdot 1)+\vec{k}(1\cdot (-1)-1\cdot 1)$

$\vec{v}=\vec{i}-\vec{j}-2\vec{k}=(1,-1,-2)\sim (-1,1,2)$

$\text{De la recta }r\text{ conocemos:}\text{punto }P(1,-1,0),{\vec{v}}_r=(-1,1,2)$

$\text{Las ecuaciones param}\acute{\text{e}}\text{tricas de }r:\{\begin{array}{l}x=1-\lambda \\ y=-1+\lambda \\ z=2\lambda \end{array},\lambda \in \mathbb{R}$



$\pi x+y-1=0,{\pi }^{\mathrm{\prime }}x-y+z-1=0,P(1,-1,0)$

$\text{Como }r\parallel \pi \Rightarrow d(r,\pi )=d(P,\pi )=\frac{\mathrm{\mid }1+(-1)-1\mathrm{\mid }}{\sqrt{1^2+1^2+0^2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$

$\text{Como }r\parallel {\pi }^{\mathrm{\prime }}\Rightarrow d(r,{\pi }^{\mathrm{\prime }})=d(P,{\pi }^{\mathrm{\prime }})=\frac{\mathrm{\mid }1-(-1)+0-1\mathrm{\mid }}{\sqrt{1^2+(-1{)}^2+1^2}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$

$\text{Soluci}\acute{\text{o}}\text{n: }d(r,\pi )=\frac{1}{\sqrt{2}}\text{y}d(r,{\pi }^{\mathrm{\prime }})=\frac{1}{\sqrt{3}}$


$\text{Ecuaci}\acute{\text{o}}\text{n de la recta }t:\{\begin{array}{l}x+y=1\\ x-y+z=1\end{array}$
$\text{En este sistema: }\mid \begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\mid =-1-1=-2\mathrm{\ne }0$

$\text{la ecuaci}\acute{\text{o}}\text{n de }t\text{ la obtenemos resolviendo el sistema}$




$\text{Sistema:}\{\begin{array}{l}x+y=1\\ x-y=1-z\end{array}$

$x=\frac{\mid \begin{array}{cc}1& 1\\ 1-z& -1\end{array}\mid }{-2}=\frac{-1+z-2+z}{-2}=1-\frac{1}{2}z$
$y=\frac{\mid \begin{array}{cc}1& 1-z\\ 1& 1-z\end{array}\mid }{-2}=\frac{1-z-1}{-2}=\frac{1}{2}z$ $\Rightarrow t:\{\begin{array}{l}x=1-{\displaystyle \frac{1}{2}}\lambda \\ y={\displaystyle \frac{1}{2}}\lambda \\ z=\lambda \end{array},\lambda \in \mathbb{R}$










$\text{Simplifiquemos usando otro vector director}$

${\vec{v}}_t=(-{\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{1}{2}},1)\sim (-1,1,2)$

$\Rightarrow t:\{\begin{array}{l}x=1-\lambda \\ y=\lambda \\ z=2\lambda \end{array},\lambda \in \mathbb{R}$

$\text{Un punto gen}\acute{\text{e}}\text{rico de }t:Q(1-\lambda ,\lambda ,2\lambda )$

$\text{Condici}\acute{\text{o}}\text{n: }\overrightarrow{PQ}\cdot {\vec{v}}_s=0$

$P(1,-1,0),\overrightarrow{PQ}=(1-\lambda -1,\lambda +1,2\lambda )=(-\lambda ,\lambda +1,2\lambda )$

${\vec{v}}_s=(-1,1,2)$

$\overrightarrow{PQ}\cdot {\vec{v}}_s=(-\lambda ,-\lambda +1,2\lambda )\cdot (-1,1,2)=\lambda +\lambda +1+4\lambda =6\lambda +1$

$6\lambda +1=0\Rightarrow \lambda =-{\displaystyle \frac{1}{6}}$

$Q(1-(-{\displaystyle \frac{1}{6}}),-{\displaystyle \frac{1}{6}},2(-{\displaystyle \frac{1}{6}}))=({\displaystyle \frac{7}{6}},-{\displaystyle \frac{1}{6}},-{\displaystyle \frac{1}{3}})$

$\text{Vector director de }s:{\vec{v}}_s=\overrightarrow{PQ}=({\displaystyle \frac{7}{6}}-1,-{\displaystyle \frac{1}{6}}+1,-{\displaystyle \frac{1}{3}})=({\displaystyle \frac{1}{6}},{\displaystyle \frac{5}{6}},-{\displaystyle \frac{1}{3}})\sim (1,5,-2)$

$\text{Ecuaciones param}\acute{\text{e}}\text{tricas de }s:\{\begin{array}{l}x=1+\lambda \\ y=-1+5\lambda \\ z=-2\lambda \end{array},\lambda \in \mathbb{R}$