Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2024

Cuestión 5.

Considere el plano $\pi$ de ecuación $x+y+z=-1$ y la recta $r$ dada por ${\displaystyle \frac{x}{1}}={\displaystyle \frac{y-1}{-1}}={\displaystyle \frac{z}{0}}$.

a) [1] Compruebe que el plano $\pi$ y la recta $r$ son paralelos.
b) [0,5] Calcule la distancia de la recta $r$ al plano $\pi$.
c) [1] Calcule la ecuación general (o implícita) del plano que contiene a la recta $r$ y es perpendicular al plano $\pi$.

Del plano $\pi :x+y+z=-1$ leemos su vector normal y de la recta un punto y su vector director.

$\vec{n}=(1,1,1);P(0,1,0),\vec{v}=(1,-1,0)$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{[1]}}\mathbf{\text{Compruebe}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{plano}}\mathit{\pi }\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{recta}}\mathit{r}\mathbf{\text{son}}\mathbf{\text{paralelos.}}$

Una recta es paralela a un plano cuando su vector director es perpendicular a la normal y, además, la recta no está contenida en él. Comprobamos lo primero con el producto escalar.

$\vec{v}\cdot \vec{n}=1\cdot 1+(-1)\cdot 1+0\cdot 1=0$

Y ahora que el punto de paso no pertenece al plano:

$0+1+0=1\mathrm{\ne }-1$

Se cumplen las dos condiciones, luego la recta $r$ es paralela al plano $\pi$ y no tiene ningún punto en común con él.



$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{[0,5]}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{distancia}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{recta}}\mathit{r}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{plano}}\mathit{\pi }\mathbf{\text{.}}$

Al ser paralelos, todos los puntos de la recta equidistan del plano, así que basta medir desde el punto de paso.

$d(r,\pi )=d(P,\pi )={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }0+1+0+1\mathrm{\mid }}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}}}={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}}}$

$d(r,\pi )={\displaystyle \frac{2\sqrt{3}}{3}}$

La distancia de la recta al plano es ${\displaystyle \frac{2\sqrt{3}}{3}}\approx \mathrm{1,15}$ unidades de longitud.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{[1]}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{ecuaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{general}}\mathbf{\text{(o}}\mathbf{\text{impl}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{cita)}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{plano}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{contiene}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{recta}}\mathit{r}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{perpendicular}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{plano}}\mathit{\pi }\mathbf{\text{.}}$

El plano buscado, que llamamos $\sigma$, contiene a la recta y por tanto su dirección $\vec{v}$; y al ser perpendicular a $\pi$ contiene también la dirección de $\vec{n}$. Con dos vectores directores, la normal de $\sigma$ sale del producto vectorial.

$\vec{N}=\vec{v}\times \vec{n}=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 1& -1& 0\\ 1& 1& 1\end{array}\mid =(-1,-1,2)$

Imponemos que pase por $P(0,1,0)$:

$-1(x-0)-1(y-1)+2(z-0)=0$

$x+y-2z-1=0$

Comprobamos las dos condiciones: $\vec{N}\cdot \vec{v}=-1+1+0=0$, así que la recta es paralela a $\sigma$ y, como $P\in \sigma$, está contenida; y $\vec{N}\cdot \vec{n}=-1-1+2=0$, luego los dos planos son perpendiculares.

La ecuación general del plano pedido es $x+y-2z-1=0$.