Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2025

Cuestión 3B.

Un helicóptero situado en el punto $P(1,2,1)$ quiere aterrizar en el plano $\pi :x+y+3z=0$.

a) [1] Calcule la ecuación en forma continua de la recta de la trayectoria que lo lleve al punto más cercano a $\pi$.
b) [0,75] Halle dicho punto.
c) [0,75] Calcule la distancia que debe recorrer.

El punto del plano más cercano al helicóptero es su proyección ortogonal, así que la trayectoria más corta es la perpendicular al plano trazada desde $P$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{[1]}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{ecuaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{forma}}\mathbf{\text{continua}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{recta}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{trayectoria}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{lo}}\mathbf{\text{lleve}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{cercano}}\mathbf{\text{a}}\mathit{\pi }\mathbf{\text{.}}$

Esa recta pasa por $P(1,2,1)$ y, por ser perpendicular al plano, tiene como vector director su vector normal.

$\vec{n}=(1,1,3)$

$r:{\displaystyle \frac{x-1}{1}}={\displaystyle \frac{y-2}{1}}={\displaystyle \frac{z-1}{3}}$



$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{[0,75]}}\mathbf{\text{Halle}}\mathbf{\text{dicho}}\mathbf{\text{punto.}}$

El punto de aterrizaje es la intersección de esa recta con el plano, de modo que escribimos la recta en paramétricas y sustituimos.

$\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=2+t\\ z=1+3t\end{array}$

$(1+t)+(2+t)+3(1+3t)=0\Rightarrow 6+11t=0\Rightarrow t=-{\displaystyle \frac{6}{11}}$

$P^{\mathrm{\prime }}=({\displaystyle \frac{5}{11}},{\displaystyle \frac{16}{11}},-{\displaystyle \frac{7}{11}})$

Comprobamos que pertenece al plano: ${\displaystyle \frac{5+16-21}{11}}=0$.

El helicóptero debe aterrizar en el punto $P^{\mathrm{\prime }}({\displaystyle \frac{5}{11}},{\displaystyle \frac{16}{11}},-{\displaystyle \frac{7}{11}})$.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{[0,75]}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{distancia}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{debe}}\mathbf{\text{recorrer.}}$

La distancia recorrida es la longitud del segmento $\overline{P{P}^{\mathrm{\prime }}}$, que es la distancia del punto al plano; la obtenemos con la fórmula correspondiente.

$d(P,\pi )={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }1+2+3\cdot 1\mathrm{\mid }}{\sqrt{1^2+1^2+3^2}}}={\displaystyle \frac{6}{\sqrt{11}}}$

$d={\displaystyle \frac{6\sqrt{11}}{11}}$

Lo confirmamos a partir del parámetro obtenido antes, ya que $\mathrm{\mid }\overrightarrow{P{P}^{\mathrm{\prime }}}\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }t\mathrm{\mid }\cdot \mathrm{\mid }\vec{n}\mathrm{\mid }={\displaystyle \frac{6}{11}}\sqrt{11}$.

El helicóptero debe recorrer ${\displaystyle \frac{6\sqrt{11}}{11}}\approx \mathrm{1,81}$ unidades de longitud.