Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2025

Cuestión 3B.

Considere los planos ${\pi }_1:x-y+z=0$ y ${\pi }_2:x+y-z=2$.

a) [1] Calcule la ecuación paramétrica de la recta en la que se cortan ${\pi }_1$ y ${\pi }_2$.
b) [0,75] Halle la ecuación de la recta que pasa por $P(1,2,3)$ y no corta ni a ${\pi }_1$ ni a ${\pi }_2$.
c) [0,75] Calcule la proyección ortogonal de $P$ en ${\pi }_1$.

La recta común a los dos planos tiene por vector director uno perpendicular a las dos normales, que obtenemos con el producto vectorial.

${\vec{n}}_1=(1,-1,1),{\vec{n}}_2=(1,1,-1)$

$\vec{d}={\vec{n}}_1\times {\vec{n}}_2=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 1& -1& 1\\ 1& 1& -1\end{array}\mid =(0,2,2)$

que es paralelo a $(0,1,1)$. Para el punto de paso resolvemos el sistema formado por las dos ecuaciones: sumándolas se obtiene $x$ y restándolas la relación entre $y$ y $z$.

$2x=2\Rightarrow x=1;-2y+2z=-2\Rightarrow z=y-1$

Tomando $y=0$ resulta el punto $(1,0,-1)$, que en efecto cumple las dos ecuaciones. La recta de corte es:

$r:\{\begin{array}{l}x=1\\ y=\lambda \\ z=-1+\lambda \end{array},\lambda \in \mathbb{R}$





Una recta no corta a un plano exactamente cuando es paralela a él sin estar contenida. Para serlo a la vez de los dos, su dirección ha de ser perpendicular a las dos normales, es decir, la misma $\vec{d}=(0,1,1)$ del apartado anterior.

Falta asegurarse de que $P$ no está en ninguno de los planos; si lo estuviera, la recta quedaría contenida en él.

${\pi }_1:1-2+3=2\mathrm{\ne }0$

${\pi }_2:1+2-3=0\mathrm{\ne }2$

La recta pedida es, por tanto:

$s:\{\begin{array}{l}x=1\\ y=2+t\\ z=3+t\end{array},t\in \mathbb{R}$



La proyección ortogonal es el punto en que la perpendicular al plano trazada desde $P$ corta a ${\pi }_1$, así que construimos esa recta con vector director ${\vec{n}}_1$.

$\{\begin{array}{l}x=1+s\\ y=2-s\\ z=3+s\end{array}$

Sustituimos en la ecuación del plano y despejamos el parámetro:

$(1+s)-(2-s)+(3+s)=0\Rightarrow 2+3s=0\Rightarrow s=-{\displaystyle \frac{2}{3}}$

$P^{\mathrm{\prime }}=(1-{\displaystyle \frac{2}{3}},2+{\displaystyle \frac{2}{3}},3-{\displaystyle \frac{2}{3}})=({\displaystyle \frac{1}{3}},{\displaystyle \frac{8}{3}},{\displaystyle \frac{7}{3}})$

Comprobamos que pertenece a ${\pi }_1$: ${\displaystyle \frac{1}{3}}-{\displaystyle \frac{8}{3}}+{\displaystyle \frac{7}{3}}=0$.

La proyección ortogonal de $P$ sobre el plano ${\pi }_1$ es el punto $P^{\mathrm{\prime }}({\displaystyle \frac{1}{3}},{\displaystyle \frac{8}{3}},{\displaystyle \frac{7}{3}})$.