Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2023

Problema 4.

Dada la recta $r:\{\begin{array}{l}5x+y+7z=16\\ 9x-y+7z=12\end{array}$ y el punto $P=(0,5,2)$ se pide:

a) Comprobar que el punto $Q=(2,6,0)$ pertenece a la recta $r$ y encontrar la recta $s$ que pasa por los puntos $P$ y $Q$. (2 puntos)
b) Obtener el ángulo que forman la recta $r$ y la recta $s$. (3 puntos)
c) Obtener la proyección ortogonal del punto $P$ en la recta $r$. (5 puntos)

Sea la recta $r$ definida por el sistema:

$r:\{\begin{array}{l}5x+y+7z=16\\ 9x-y+7z=12\end{array}$

Sumamos las ecuaciones:

$E_1+E_2\Rightarrow 14x+14z=28\Rightarrow x+z=2$

Tomamos:

$z=\lambda \in \mathbb{R}\Rightarrow x=2-\lambda$

Despejamos $y$:

$y=16-5x-7z$

Sustituyendo:

$y=16-5(2-\lambda )-7\lambda =16-10+5\lambda -7\lambda =6-2\lambda$

Por tanto, la recta r en forma paramétrica es:

$r:\{\begin{array}{l}x=2-\lambda \\ y=6-2\lambda \\ z=\lambda \end{array},\lambda \in \mathbb{R}$

De aquí se obtiene:

$\{\begin{array}{l}\text{Punto }R(2,6,0)\\ {\vec{v}}_r=(-1,-2,1)\end{array}$




El punto $Q$ pertenece a la recta $r$ si verifica sus ecuaciones. Así:

$\begin{array}{ll}2=2-\lambda & \Rightarrow \lambda =0\\ 6=6-2\lambda & \Rightarrow \lambda =0\\ 0=\lambda & \Rightarrow \lambda =0\end{array}\}\Rightarrow Q(2,6,0)\in r\text{como quer}\acute{\text{ı}}\text{amos demostrar}$

Para la recta $s$ que nos piden:

$\begin{array}{l}\text{Punto }P(0,5,2)\\ \text{Vector director }{\vec{v}}_s=\overrightarrow{PQ}=(2,1,-2)\end{array}\}\Rightarrow \text{Por tanto, la recta s viene dada por:}\Rightarrow s:\{\begin{array}{l}x=2\alpha \\ y=5+\alpha \\ z=2-2\alpha \end{array},\alpha \in \mathbb{R}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Obtener}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ngulo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{forman}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{recta}}\mathit{r}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{recta}}\mathit{s}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{(3}}\mathbf{\text{puntos)}}$










Cálculo del ángulo entre las rectas $r$ y $s$.

$\cos (\alpha )=\frac{\mid {\vec{v}}_r\cdot {\vec{v}}_s\mid }{\mid {\vec{v}}_r\mid \cdot \mid {\vec{v}}_s\mid }$

$\cos (\alpha )=\frac{\mid (-1,-2,1)\cdot (2,1,-2)\mid }{\sqrt{1^2+2^2+1^2}\cdot \sqrt{2^2+1^2+2^2}}$

$\cos (\alpha )=\frac{\mid -2-2-2\mid }{\sqrt{6}\cdot 3}=\frac{6}{\sqrt{6}\cdot 3}=\frac{\sqrt{6}}{3}$

$\Rightarrow \alpha =\arccos \text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\frac{\sqrt{6}}{3}\right)\approx {35}^{\circ }{26}^{\mathrm{\prime }}$





$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Obtener}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{proyecci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{ortogonal}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{punto}}\mathit{P}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{recta}}\mathit{r}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{(5}}\mathbf{\text{puntos)}}$











$\text{Construimos un plano }\pi \text{ que pase por }P\text{ y sea perpendicular a }r\mathrm{.}$

$\pi :Ax+By+Cz+D=0$

${\vec{n}}_{\pi }={\vec{v}}_r=(-1,-2,1)\Rightarrow \pi :-x-2y+z+D=0$

$P(0,5,2)\in \pi \Rightarrow -10+2+D=0\Rightarrow D=8$

Por tanto, la ecuación del plano es:

$\pi :-x-2y+z+8=0$





Determinamos el punto de corte $P^{\mathrm{\prime }}$ entre la recta $r$ y el plano $\pi$.

$\begin{array}{l}{P}^{\mathrm{\prime }}\in r:(2-\lambda ,6-2\lambda ,\lambda )\\ \pi :-x-2y+z+8=0\end{array}\}\Rightarrow -(2-\lambda )-2(6-2\lambda )+\lambda +8=0\Rightarrow -2+\lambda -12+4\lambda +\lambda +8=0$

$6\lambda -6=0\Rightarrow \lambda =1$

Por tanto, el punto pedido es:

$P^{\mathrm{\prime }}\in r:(2-\lambda ,6-2\lambda ,\lambda )\Rightarrow P^{\mathrm{\prime }}(1,4,1)$