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Examen de Matemáticas II de Comunidad Valenciana 2022 (convocatoria extraordinaria)

Ejercicios del examen de selectividad de Matemáticas II de Comunidad Valenciana, convocatoria extraordinaria de 2022. Aquí hay 6 ejercicios publicados, 6 con la solución desarrollada. El enunciado completo es el del PDF oficial.

Descargar el PDF oficial del examen

Ejercicio 1: Sistemas de ecuaciones

Problema 1.

Dado el sistema de ecuaciones:

{\begin{cases} a x + y = 1 \\ x + z = 1 \\ x + a y + (a - 1) z = a \end{cases}

.

a) Discutir el sistema en función del parámetro real

a

. (5 puntos)
b) Encontrar todas las soluciones del sistema cuando este sea compatible. (5 puntos)

Ver la solución del ejercicio 1

Ejercicio 2: Matrices

Problema 2.
Dada la matriz

A = (\begin{array}{cc} a + b & 1 \\ 0 & a - b \end{array})

:
a) Calcular los valores de los parámetros

a

b

para que se cumpla

A^{- 1} = (\begin{array}{cc} 1 & - 1 \\ 0 & 1 \end{array})

. (4 puntos)
b) Para los valores

a

b

obtenidos en el apartado anterior, calcular

A^{3}

A^{4}

. (3 puntos)
c) Calcular

\det (A^{- 50})

cuando

a^{2} - b^{2} \neq 0

. (3 puntos)

Ver la solución del ejercicio 2

Ejercicio 3: Rectas y Planos

Problema 3.
Dados los puntos

A = (2, 0, 0)

B = (0, 1, 0)

, y la recta

s : \frac{x - 1}{2} = \frac{y - 1}{3} = z

:
a) Hallar la ecuación de la recta

r

que pasa por los puntos

A

B

. (2 puntos)
b) Determinar la ecuación implícita del plano que contiene a la recta

s

y es paralelo a la recta

r

. (4 puntos)
c) Calcular la distancia del punto

A

a la recta

s

. (4 puntos)

Ver la solución del ejercicio 3

Ejercicio 4: Rectas y Planos

Problema 4.
Dados los puntos

A = (2, 1, - 2)

B = (3, 2, 3)

, y el plano

π

definido por

2 x + 2 y + z = 3

, obtener:
a) El punto de corte

C

entre el plano

π

y la recta perpendicular a

π

que pasa por

B

. (5 puntos)
b) El área del triángulo cuyos vértices son

A

B

C

. (5 puntos)

Ver la solución del ejercicio 4

Ejercicio 5: Integrales y Áreas

Problema 5.
a) Calcular, indicando todos los pasos, la siguiente integral indefinida:

\int \frac{18}{x^{2} - 5 x - 14} d x

. (5 puntos)

b) Determinar, en función de

t

, el valor

\int_{8}^{t} \frac{18}{x^{2} - 5 x - 14} d x

. (2 puntos)

c) Determinar el valor de

t

mayor que

8

para que

\int_{8}^{t} \frac{18}{x^{2} - 5 x - 14} d x

sea igual a

\ln \frac{25}{4}

. (3 puntos)

Ver la solución del ejercicio 5

Ejercicio 6: Optimización

Problema 6.

Considerar la función

f (x) = e^{- x^{2}}

para los valores positivos de

x

. Por cada punto

M = (x, f (x))

de la gráfica de

f

se trazan dos rectas paralelas a los ejes de coordenadas,

O X

O Y

. Estas dos rectas, junto con los ejes de coordenadas, definen un rectángulo.

a) Determinar el área del rectángulo en función de

x

. (3 puntos)
b) Encontrar el punto

M

que proporciona mayor área y calcular esta área. (7 puntos)

Ver la solución del ejercicio 6