Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2022

Problema 2.
Dada la matriz $A=\left(\begin{array}{cc}a+b& 1\\ 0& a-b\end{array}\right)$:
a) Calcular los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que se cumpla $A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 0& 1\end{array}\right)$. (4 puntos)
b) Para los valores $a$ y $b$ obtenidos en el apartado anterior, calcular $A^3$ y $A^4$. (3 puntos)
c) Calcular $\det (A^{-50})$ cuando $a^2-b^2\mathrm{\ne }0$. (3 puntos)

Para que exista $A^{-1}$, $\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }\mathrm{\ne }0$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{cc}a+b& 1\\ 0& a-b\end{array}\mid =a^2-b^2\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{\exists }{A}^{-1}\text{ cuando }a\mathrm{\ne }\pm b$

Calculemos $A^{-1}$:



$A^{-1}=\frac{1}{\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }}\left(\begin{array}{cc}a-b& -1\\ 0& a+b\end{array}\right)=\frac{1}{a^2-b^2}\left(\begin{array}{cc}a-b& -1\\ 0& a+b\end{array}\right)$

como $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$,



Debe cumplirse que

$\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{1}{a+b}}& {\displaystyle \frac{-1}{a^2-b^2}}\\ 0& {\displaystyle \frac{1}{a-b}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 0& 1\end{array}\right)\Rightarrow \{\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{1}{a+b}}=1\\ \\ {\displaystyle \frac{-1}{a^2-b^2}}=-1\\ \\ {\displaystyle \frac{1}{a-b}}=1\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}a+b=1\\ a^2-b^2=1\\ a-b=1\end{array}$

Resolvamos el sistema formado por la primera y tercera ecuaciones, después comprobamos que la solución cumple la segunda ecuación.

$\{\begin{array}{l}a+b=1\\ a-b=1\end{array}\Rightarrow \text{sumando ambas, }2a=2\Rightarrow a=1\Rightarrow b=0$

Como $1^2-0^2=1$, cumple la segunda ecuación.

Y además $1^2-0^2\mathrm{\ne }0$.

Solución: los valores de los parámetros pedidos son $a=1$ y $b=0$.



Para $a=1$ y $b=0$, calcular $A^3$ y $A^4$.

$A=\left(\begin{array}{cc}a+b& 1\\ 0& a-b\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$

$A^2=A\cdot A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\end{array}\right)$

$A^3=A^2\cdot A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 0& 1\end{array}\right)$

$A^4=A^3\cdot A=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 4\\ 0& 1\end{array}\right)$

Solución: $A^3=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 0& 1\end{array}\right)\text{y}{A}^4=\left(\begin{array}{cc}1& 4\\ 0& 1\end{array}\right)$



Como $a^2-b^2\mathrm{\ne }0$ según obtuvimos en el apartado a), $\mathrm{\exists }{A}^{-1}$.

Considerando las propiedades de los determinantes: $\det (AB)=\det (A)\det (B)$ y $\det (A^{-1})={\displaystyle \frac{1}{\det (A)}}$.

$A^{-50}=(A^{50}{)}^{-1}\Rightarrow \det (A^{-50})=\det ((A^{50}{)}^{-1})=\frac{1}{\det (A^{50})}=\frac{1}{\det (A{)}^{50}}=\frac{1}{(a^2-b^2{)}^{50}}$

Solución: $\det (A^{-50})=\frac{1}{(a^2-b^2{)}^{50}}$