Matemáticas II · Matrices · Comunidad Valenciana · 2023

Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2023

Problema 2.

Dadas las matrices A=(0−1−2−10−2113) e I=(100010001), obtener:

a) La matriz M=(A−αI)2, donde α es un parámetro real. (6 puntos)
b) El valor de α, si existe, para el cual la matriz M es la matriz nula. (4 puntos)

Solución

a) La matriz M=(A−αI)2, donde α es un paraˊmetro real. (6 puntos)

Calculemos M=(A−αI)2:

A−αI=(0−1−2−10−2113)−(α000α000α)=(−α−1−2−1−α−2113−α)

(A−αI)2=(−α−1−2−1−α−2113−α)(−α−1−2−1−α−2113−α)=

(α2+1−2α+α−22α+2−6+2αα+α−2α2+1−22α+2−6+2α−α−1+3α−1−α+3α−2−2+(3−α)2)=

(α2−12α−24α−42α−2α2−14α−4−2α+2−2α+2α2−6α+5)

Luego,

M=(α2−12α−24α−42α−2α2−14α−4−2α+2−2α+2α2−6α+5)

b) El valor de α, si existe, para el cual la matriz M es la matriz nula. (4 puntos)

El valor de α, si existe, para el cual la matriz M es la matriz nula.

Para que M sea una matriz nula todos sus elementos deben ser nulos.

α2−1=0⇒α2=1⇒α=±1

2α−2=0⇒2α=2⇒α=1

4α−4=0⇒4α=4⇒α=1

−2α+2=0⇒−2α=−2⇒α=1

α2−6α+5=0⇒α=6±36−202=6±42⇒{α=5α=1

Por tanto, todos los elementos de la matriz M son nulos cuando α=1.

Solución: α=1.


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