Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2023

Problema 1.

Dadas las matrices $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 0& m& 1\\ 0& 3& 0\end{array}\right)$, $X=\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)$ y $B=\left(\begin{array}{c}m\\ 0\\ 9\end{array}\right)$:

a) Estudiar cuándo la ecuación matricial $A^{2}X=B$ tiene solución en función del parámetro real $m$. (4 puntos)
b) Encontrar todas las soluciones de la ecuación anterior cuando éstas existan. (6 puntos)

Calculemos $A^2$,

$A^2=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 0& m& 1\\ 0& 3& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 0& m& 1\\ 0& 3& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 2+2m& 2\\ 0& m^2+3& m\\ 0& 3m& 3\end{array}\right)$

Procederemos a estudiar el rango de ($A^2$) en función del parámetro $m$.

$\mathrm{\mid }{A}^2\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}1& 2+2m& 2\\ 0& m^2+3& m\\ 0& 3m& 3\end{array}\mid =3(m^2+3)-3m\cdot m=3m^2+9-3m^2=9\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}(A^2)=3$

Como su rango es $3$ que es el máximo posible, la ecuación $A^{2}X=B$ tiene solución única.

Como $\det (M)\mathrm{\ne }0\mathrm{\forall }m\in \mathbb{R}$, se tiene $\mathrm{rg}(M)=3\mathrm{\forall }m\in \mathbb{R}$ y, en consecuencia, $\mathrm{rg}(M^{\ast })=3\mathrm{\forall }m\in \mathbb{R}$; por el teorema de Rouché–Frobenius, el sistema (es decir, la ecuación $A^{2}X=B$) admitirá una única solución, la cual podemos determinar despejando $X$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Encontrar}}\mathbf{\text{todas}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{soluciones}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{ecuaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{anterior}}\mathbf{\text{cuando}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{stas}}\mathbf{\text{existan.}}\mathbf{\text{(6}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Como $\mathrm{\mid }{A}^2\mathrm{\mid }\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{\exists }(A^2{)}^{-1}\text{ (la matriz inversa de }{A}^2)$

La solución $X$, la obtendremos de la siguiente forma:

$A^{2}X=B(A^2{)}^{-1}{A}^{2}X=(A^2{)}^{-1}B\Rightarrow IX=(A^2{)}^{-1}B\Rightarrow X=(A^2{)}^{-1}B$

Calculemos $(A^2{)}^{-1}$,

$(A^2{)}^{-1}=\frac{1}{\det (A^2)}[\mathrm{Adj}(A^2){]}^t$

$\text{Adj}(A^2)=\left(\begin{array}{ccc}\mid \begin{array}{cc}{m}^2+3& m\\ 3m& 3\end{array}\mid & -\mid \begin{array}{cc}0& m\\ 0& 3\end{array}\mid & \mid \begin{array}{cc}0& m^2+3\\ 0& 3m\end{array}\mid \\ -\mid \begin{array}{cc}2+2m& 2\\ 3m& 3\end{array}\mid & \mid \begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 3\end{array}\mid & -\mid \begin{array}{cc}1& 2+2m\\ 0& 3m\end{array}\mid \\ \mid \begin{array}{cc}2+2m& 2\\ m^2+3& m\end{array}\mid & -\mid \begin{array}{cc}1& 2\\ 0& m\end{array}\mid & \mid \begin{array}{cc}1& 2+2m\\ 0& m^2+3\end{array}\mid \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}9& 0& 0\\ -6& 3& -3m\\ 0& -m& m^2+3\end{array}\right)$

$[\text{Adj}(A^2){]}^t=\left(\begin{array}{ccc}9& -6& 0\\ 0& 3& -m\\ 0& -3m& m^2+3\end{array}\right)$

$\det (A^2)=\mid \begin{array}{ccc}1& 2+2m& 2\\ 0& m^2+3& m\\ 0& 3m& 3\end{array}\mid =9$

$\Rightarrow (A^2{)}^{-1}=\frac{1}{9}\left(\begin{array}{ccc}9& -6& 0\\ 0& 3& -m\\ 0& -3m& m^2+3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& -\frac{2}{3}& 0\\ 0& \frac{1}{3}& -\frac{m}{9}\\ 0& -\frac{m}{3}& \frac{m^2+3}{9}\end{array}\right)$

Entonces, $X=(A^2{)}^{-1}B=\left(\begin{array}{ccc}1& -2\mathrm{/}3& (2m-6)\mathrm{/}9\\ 0& 1\mathrm{/}3& -m\mathrm{/}9\\ 0& -m\mathrm{/}3& (m^2+3)\mathrm{/}9\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}m\\ 0\\ 9\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}m+9\frac{2m-6}{9}\\ -\frac{m}{9}9\\ \frac{m^2+3}{9}9\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3m-6\\ -m\\ m^2+3\end{array}\right)$

Solución:

$X=\left(\begin{array}{c}3m-6\\ -m\\ m^2+3\end{array}\right)$