Matemáticas II · Matrices · Comunidad Valenciana · 2024

Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2024

Problema 2.

Se consideran las matrices A=(12mm0m0m1m) y B=(100100). Se pide:

a) Estudiar el rango de A en función del parámetro real m. (3 puntos)
b) Para m=−1, resolver la ecuación matricial AX=B. (4 puntos)
c) Para m=0, calcular A5. (3 puntos)

Solución

a) Estudiar el rango de A en funcioˊn del paraˊmetro real m. (3 puntos)

A=(12mm0m0m1m)

Calculamos el determinante mediante la expansión por menores de la segunda fila aprovechando los términos nulos:

det⁡(A)=∣12mm0m0m1m∣=m∣1mmm∣=m2∣1m11∣=m2(1−m)

Por tanto:

det⁡(A)=0  ⟺  m2(1−m)=0  ⟺  {m=0m=1

Si m≠0 y m≠1, entonces det⁡(A)≠0 y se tiene que rg⁡(A)=3

Si m=0, entonces:

A=(100000010)

Se estudian menores de orden 2:

∣1001∣=1≠0⇒rg⁡(A)=2

Si m=1, entonces:

A=(121010111)

Se estudian menores de orden 2:

∣1211∣=−1≠0⇒rg⁡(A)=2

b) Para m=−1, resolver la ecuacioˊn matricial AX=B. (4 puntos)

Si m=−1 ya hemos visto que det⁡(A)≠0 y por tanto existe la matriz A−1.

#x27; in math mode at position 88: …d X = A^{-1}B $̲ltxA =\begin{pm…" style="color:#cc0000">AX = B \quad \Rightarrow \quad A^{-1}AX = A^{-1}B \quad \Rightarrow \quad X = A^{-1}B $ltxA =\begin{pmatrix}1 & -2 & -1 \\0 & 1 & 0 \\-1 & 1 & -1\end{pmatrix}, \quad\det(A) = 2

A−1=1det⁡(A)[Adj(A)]t

Adj(A)=(    ∣−101−1∣−∣00−1−1∣    ∣0−1−11∣−∣−2−11−1∣    ∣1−1−1−1∣−∣1−2−11∣    ∣−2−1−10∣−∣1−100∣    ∣1−20−1∣)=(10−1−3−21−10−1)

[Adj(A)]t=(1−3−10−20−11−1)

⇒A−1=12(1−3−10−20−11−1)

X=A−1B=12(1−3−10−20−11−1)⋅(100100)=(1/2−3/20−1−1/21/2)

c) Para m=0, calcular A5. (3 puntos)

Para m=0⇒A=(100000010)

A2=A⋅A=(100000010)⋅(100000010)=(100000000)

A3=A2⋅A=(100000000)⋅(100000010)=(100000000)

A5=A3⋅A2=(100000000)⋅(100000000)=(100000000)

Más ejercicios de Matrices

Ver todos los ejercicios de este examen de Matemáticas II de Comunidad Valenciana 2024

Ver este ejercicio en Hodeia — miles de ejercicios de selectividad resueltos y filtrables.