Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2025

PREGUNTA 2: ÁLGEBRA (2,5 puntos)

Responda al apartado 2.1 o al apartado 2.2

2.1 En un sistema de procesamiento de imágenes se utiliza una matriz para transformar ciertos datos. La matriz depende del parámetro real $\alpha$ y es: $A=\left[\begin{array}{ccc}1& \alpha & 0\\ 0& \alpha & 0\\ 0& 0& 1-\alpha \end{array}\right]$.

2.1.1 (1.25 puntos) En uno de los procesos, para que el sistema funcione, se necesita que la matriz sea idempotente, es decir que su cuadrado coincida con ella, $A^2=A$. Obtener los valores $\alpha$ que permitan funcionar a este proceso.
2.1.2 (1.25 puntos) En otro proceso diferente, se necesita utilizar la matriz inversa de $A$. Obtener los valores de $\alpha$ para los cuales existe la inversa y calcular esta inversa en función de $\alpha$.

$A=\left(\begin{array}{ccc}1& \alpha & 0\\ 0& \alpha & 0\\ 0& 0& 1-\alpha \end{array}\right)$



$A^2=A\cdot A=\left(\begin{array}{ccc}1& \alpha & 0\\ 0& \alpha & 0\\ 0& 0& 1-\alpha \end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1& \alpha & 0\\ 0& \alpha & 0\\ 0& 0& 1-\alpha \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& \alpha +{\alpha }^2& 0\\ 0& {\alpha }^2& 0\\ 0& 0& (1-\alpha {)}^2\end{array}\right)$

Si tiene que ser $A^2=A$ $\Rightarrow \left(\begin{array}{ccc}1& \alpha +{\alpha }^2& 0\\ 0& {\alpha }^2& 0\\ 0& 0& (1-\alpha {)}^2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& \alpha & 0\\ 0& \alpha & 0\\ 0& 0& 1-\alpha \end{array}\right)\Rightarrow$

$\Rightarrow \{\begin{array}{l}\alpha +{\alpha }^2=\alpha \\ {\alpha }^2=\alpha \\ (1-\alpha {)}^2=1-\alpha \end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}{\alpha }^2=0\\ {\alpha }^2-\alpha =0\\ 1-2\alpha +{\alpha }^2=1-\alpha \end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}\alpha =0\\ \alpha (\alpha -1)=0\\ {\alpha }^2-\alpha =0\end{array}$

Entonces, el único valor de $\alpha$ que hace $A^2=A$ es $\alpha =0$.

$\mathbf{\text{2.1.2}}\mathbf{\text{(1.25}}\mathbf{\text{puntos)}}\mathbf{\text{En}}\mathbf{\text{otro}}\mathbf{\text{proceso}}\mathbf{\text{diferente,}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{necesita}}\mathbf{\text{utilizar}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{matriz}}\mathbf{\text{inversa}}\mathbf{\text{de}}\mathit{A}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{Obtener}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{de}}\mathit{\alpha }\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{cuales}}\mathbf{\text{existe}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{inversa}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{calcular}}\mathbf{\text{esta}}\mathbf{\text{inversa}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathit{\alpha }\mathbf{\text{.}}$

Existe $A^{-1}$ si $\det (A)\mathrm{\ne }0$. Así:

$\det (A)=\mid \begin{array}{ccc}1& \alpha & 0\\ 0& \alpha & 0\\ 0& 0& 1-\alpha \end{array}\mid =\alpha (1-\alpha )$

$\det (A)=0\Rightarrow \alpha (1-\alpha )=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}\alpha =0\\ \alpha =1\end{array}$

Por tanto, $\mathrm{\exists }{A}^{-1}\mathrm{\forall }\alpha \in \mathbb{R}\setminus \{0,1\}$

Para calcular la inversa, $A^{-1}=\frac{1}{\det (A)}[\mathrm{Adj}(A){]}^t$

$\mathrm{Adj}(A)=\left(\begin{array}{ccc}\mid \begin{array}{cc}\alpha & 0\\ 0& 1-\alpha \end{array}\mid & -\mid \begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1-\alpha \end{array}\mid & \mid \begin{array}{cc}0& \alpha \\ 0& 0\end{array}\mid \\ -\mid \begin{array}{cc}\alpha & 0\\ 0& 1-\alpha \end{array}\mid & \mid \begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1-\alpha \end{array}\mid & -\mid \begin{array}{cc}1& \alpha \\ 0& 0\end{array}\mid \\ \mid \begin{array}{cc}\alpha & 0\\ \alpha & 0\end{array}\mid & -\mid \begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\mid & \mid \begin{array}{cc}1& \alpha \\ 0& \alpha \end{array}\mid \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}\alpha (1-\alpha )& 0& 0\\ -\alpha (1-\alpha )& 1-\alpha & 0\\ 0& 0& \alpha \end{array}\right)$

$[\mathrm{Adj}(A){]}^t=\left(\begin{array}{ccc}\alpha (1-\alpha )& -\alpha (1-\alpha )& 0\\ 0& 1-\alpha & 0\\ 0& 0& \alpha \end{array}\right)$

Por tanto, $A^{-1}=\frac{1}{\alpha (1-\alpha )}\left(\begin{array}{ccc}\alpha (1-\alpha )& -\alpha (1-\alpha )& 0\\ 0& 1-\alpha & 0\\ 0& 0& \alpha \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 0\\ 0& \frac{1}{\alpha }& 0\\ 0& 0& \frac{1}{1-\alpha }\end{array}\right)$