Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2024

B.1. Calificación máxima: 2,5 puntos. Consideremos las matrices reales $A=\left(\begin{array}{ccc}3& -1& 1\\ 1& 1& 1\\ 1& -1& 3\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{ccc}b& 2b& b\\ 2b& 3b& b\\ b& b& b\end{array}\right)yC=\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 3\end{array}\right)$, con $b\mathrm{\ne }0$. Se pide:

a) (1,25 puntos) Encontrar todos los valores de $b$ para los que se verifica $BC{B}^{-1}=A$.
b) (0,75 puntos) Calcular el determinante de la matriz $A{A}^t$.\n c) (0,5 puntos) Resolver el sistema $B\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3\\ -1\\ 1\end{array}\right)$ para $b=1$.

Antes de nada hay que asegurar que $B$ tiene inversa, porque si no la igualdad ni siquiera tiene sentido.

$\mathrm{\mid }B\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}b& 2b& b\\ 2b& 3b& b\\ b& b& b\end{array}\mid =b^3\mid \begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 2& 3& 1\\ 1& 1& 1\end{array}\mid =-b^3$

Como el enunciado exige $b\mathrm{\ne }0$, el determinante nunca se anula y $B^{-1}$ existe siempre. Multiplicamos por $B$ a la derecha para quitar la inversa.

$BC{B}^{-1}=A⟺BC=AB$

Al sacar factor común $b$ en $B$, el parámetro se va de los dos miembros.

$B=bM,M=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 2& 3& 1\\ 1& 1& 1\end{array}\right)\Rightarrow bMC=bAM⟺MC=AM$

Basta entonces comprobar esa igualdad, que ya no depende de nada.

$MC=\left(\begin{array}{ccc}2& 4& 3\\ 4& 6& 3\\ 2& 2& 3\end{array}\right)=AM$

La igualdad se cumple, así que $BC{B}^{-1}=A$ es cierta para todo $b\mathrm{\ne }0$: no hay ningún valor que descartar.



No hace falta multiplicar las matrices: el determinante de un producto es el producto de los determinantes, y una matriz y su traspuesta tienen el mismo.

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}3& -1& 1\\ 1& 1& 1\\ 1& -1& 3\end{array}\mid =12$

$\mid A{A}^t\mid =\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }\cdot \mid A^t\mid =\mathrm{\mid }A{\mathrm{\mid }}^2=144$



Con $b=1$ la matriz de coeficientes es $M$, cuyo determinante vale $-1\mathrm{\ne }0$: el sistema es compatible determinado.

$\{\begin{array}{l}x+2y+z=3\\ 2x+3y+z=-1\\ x+y+z=1\end{array}$

Restamos la tercera ecuación de la primera y de la segunda, con lo que desaparece $z$.

$y=2;x+2y=-2$

$x=-2-4=-6;z=1-x-y=1+6-2=5$

La solución del sistema es $x=-6$, $y=2$, $z=5$.