Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · Galicia · 2020

1. Números y Álgebra:
Para la ecuación matricial $A^{2}X+AB=B$, se pide:

a) Despejar $X$ suponiendo que $A$ (y por tanto $A^2$) es invertible, y decir cuáles serían las dimensiones de $X$ y de $B$ si $A$ tuviera dimensión $4\times 4$ y $B$ tuviera 3 columnas.
b) Resolverla en el caso en que $A=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& -1\\ 0& 1& 0\\ -1& 0& 3\end{array}\right)$ y $B=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 0& -1& 0\\ 1& 0& -3\end{array}\right)$.

Pasamos al segundo miembro el término que no lleva la incógnita y multiplicamos por $(A^2{)}^{-1}$ por la izquierda, que es el lado por el que $A^2$ acompaña a $X$.

$A^{2}X+AB=B\Rightarrow A^{2}X=B-AB$

${\left(A^2\right)}^{-1}{A}^{2}X={\left(A^2\right)}^{-1}(B-AB)\Rightarrow X={\left(A^2\right)}^{-1}(B-AB)$

En cuanto a las dimensiones: si $A$ es $4\times 4$, también lo es $A^2$, y para que el producto $A^{2}X$ esté definido $X$ ha de tener 4 filas. Ese producto resulta entonces de 4 filas y tantas columnas como $X$, y ha de poder sumarse con $AB$ e igualarse a $B$, que tiene 3 columnas. Por tanto $X$ es de orden $4\times 3$ y $B$ también es de orden $4\times 3$.



Lo primero que conviene observar es que las dos matrices son opuestas.

$B=-A$

Eso simplifica mucho la ecuación, porque $AB=A(-A)=-A^2$.

$A^{2}X+AB=B\Rightarrow A^{2}X-A^2=-A\Rightarrow A^{2}X=A^2-A$

Multiplicando por ${\left(A^2\right)}^{-1}$ por la izquierda:

$X={\left(A^2\right)}^{-1}{A}^2-{\left(A^2\right)}^{-1}A=I-A^{-1}{A}^{-1}A=I-A^{-1}$

Solo hace falta, pues, la inversa de $A$. Comprobamos que existe:

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}0& 0& -1\\ 0& 1& 0\\ -1& 0& 3\end{array}\mid =-1\cdot \mid \begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\mid =-1\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{\exists }{A}^{-1}$

$A^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}-3& 0& -1\\ 0& 1& 0\\ -1& 0& 0\end{array}\right)$

$X=I-A^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{ccc}-3& 0& -1\\ 0& 1& 0\\ -1& 0& 0\end{array}\right)$

Finalmente, $X=\left(\begin{array}{ccc}4& 0& 1\\ 0& 0& 0\\ 1& 0& 1\end{array}\right)$.