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Examen de Matemáticas II de Galicia 2020 (convocatoria extraordinaria)

Ejercicios del examen de selectividad de Matemáticas II de Galicia, convocatoria extraordinaria de 2020. Aquí hay 8 ejercicios publicados, 8 con la solución desarrollada. El enunciado completo es el del PDF oficial.

Descargar el PDF oficial del examen

Ejercicio 1: Matrices

1. Números y Álgebra:
Para la ecuación matricial

A^{2} X + A B = B

, se pide:

a) Despejar

X

suponiendo que

A

(y por tanto

A^{2}

) es invertible, y decir cuáles serían las dimensiones de

X

y de

B

A

tuviera dimensión

4 \times 4

B

tuviera 3 columnas.
b) Resolverla en el caso en que

A = (\begin{array}{ccc} 0 & 0 & - 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ - 1 & 0 & 3 \end{array})

B = (\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & - 3 \end{array})

Ver la solución del ejercicio 1

Ejercicio 2: Sistemas de ecuaciones

2. Números y Álgebra:
Discuta, según los valores del parámetro

m

, el siguiente sistema:

{\begin{array}{rcrcr} (m + 3) x & - & m^{2} y & = & 3 m, \\ (m + 3) x & + & m y & = & 3 m + 6. \end{array}

Ver la solución del ejercicio 2

Ejercicio 3: Límites y continuidad

3. Análisis:
Determine los valores de

a

b

que hacen que la función

f (x) = {\begin{cases} \frac{a - \cos x}{x} & si x < 0, \\ b x & si x \geq 0 \end{cases}

sea, primero continua, y luego derivable.

Ver la solución del ejercicio 3

Ejercicio 4: Integrales y Áreas

4. Análisis:

a) Calcule el área de la región encerrada por el eje

X

y la gráfica de

f (x) = {\begin{cases} \frac{1}{3} x + 1 & si x < 0, \\ (x - 1)^{2} & si x \geq 0. \end{cases}

b) Calcule

\int x \sqrt{x^{2} - 1} d x

Ver la solución del ejercicio 4

Ejercicio 5: Rectas y Planos

5. Geometría:
Sean

r

la recta de vector director

{\vec{d}}_{r} (1, 0, 3)

que pasa por

P (1, 0, 0)

π : - 2 x + y + z = 0

. Se pide la posición relativa de

r

π

. En caso de que se corten, hallar el punto de corte.

Ver la solución del ejercicio 5

Ejercicio 6: Rectas y Planos

6. Geometría:

a) Calcule

k

sabiendo que los vectores

\vec{u} (2, 0, 0)

\vec{v} (0, k, 1)

\vec{w} (2, 2, 2)

son coplanarios.
b) Obtenga la ecuación implícita del plano

π

que pasa por

P (1, 0, 0)

y contiene a

r : x - 1 = \frac{y}{- 4} = \frac{z + 1}{3}

Ver la solución del ejercicio 6

Ejercicio 7: Probabilidad

7. Estadística y Probabilidad:
El 57% de los estudiantes matriculados en la Universidad de Cambridge son naturales del Reino Unido y, de entre todos esos, el 83% aprueban con honores. Además, el porcentaje global de aprobados con honores es del 80%. Calcular la probabilidad de que un estudiante elegido al azar no haya nacido en el Reino Unido sabiendo que aprobó con honores.

Ver la solución del ejercicio 7

Ejercicio 8: Distribución binomial

8. Estadística y Probabilidad:

a) En una determinada población de árboles, el 20% tienen más de 30 años. Si se eligen 40 árboles al azar, calcule la probabilidad de que solamente 4 de ellos tengan más de 30 años. El número total de árboles es tan grande que se puede asumir elección con reemplazo.
b) Si

X

sigue una distribución normal de media 15 y

P (X \leq 18) = 0.6915

, ¿cuál es la desviación típica?

Ver la solución del ejercicio 8