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Examen de Matemáticas II de Galicia 2022 (convocatoria extraordinaria)

Ejercicios del examen de selectividad de Matemáticas II de Galicia, convocatoria extraordinaria de 2022. Aquí hay 8 ejercicios publicados, 8 con la solución desarrollada. El enunciado completo es el del PDF oficial.

Descargar el PDF oficial del examen

Ejercicio 1: Matrices

1. Números y Álgebra

a) Obtenga la matriz antisimétrica

A

de orden

2 \times 2

tal que

a_{12} = 1

. Luego, calcule su inversa en caso de que exista. Nota:

a_{i j}

es el elemento que está en la fila

i

y en la columna

j

A

.
b) Sea

A = (\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array})

. Si

B = (\begin{array}{cc} 0 & b_{12} \\ 1 & b_{22} \end{array})

, halle los valores de

b_{12}

y de

b_{22}

sabiendo que

B

no tiene inversa y que

\det (A^{- 1} B + A) = - 1

Ver la solución del ejercicio 1

Ejercicio 2: Sistemas de ecuaciones

2. Números y Álgebra
Discuta, según los valores del parámetro

m

, el sistema

{\begin{array}{rcrcrcr} (m + 1) x & + & m y & + & z & = & 0, \\ y & + & (m - 2) z & = & - 2, \\ (m + 1) x & + & m y & + & (m - 1) z & = & - 3. \end{array}

Ver la solución del ejercicio 2

Ejercicio 3: Derivadas

3. Análisis

a) Obtenga las coordenadas de los vértices del triángulo rectángulo cuya hipotenusa es tangente a la gráfica de

f (x) = x^{2}

en el punto de abscisa

x = 2

y que, además, tiene un cateto de longitud 2 situado sobre el eje

X

. Dibuje la gráfica de

f

, la recta tangente y el triángulo.
b) Halle los valores de

a

b

que hacen que la función

f (x) = {\begin{cases} 1 & si x \leq 1, \\ a x^{2} + b x & si x > 1 \end{cases}

sea derivable.

Ver la solución del ejercicio 3

Ejercicio 4: Integrales y Áreas

4. Análisis
Calcule las siguientes integrales:

a)

\int 2 x \sqrt{x^{2} + 1} d x

.
b)

\int (\sin x) \sin (\cos x) d x

.
c)

\int x^{2} \sin x d x

.
d)

\int \frac{1}{(x - 1) (x - 2)} d x

Ver la solución del ejercicio 4

Ejercicio 5: Rectas y Planos

5. Geometría

a) Obtenga la ecuación implícita o general del plano

π

que contiene a la recta

r : \frac{x + 1}{3} = \frac{y + 2}{2} = \frac{z + 3}{1}

y pasa por el punto

P (0, 1, 0)

.
b) Calcule el punto simétrico de

P (11, - 14, 13)

con respecto al plano

π : 3 x - 8 y + 7 z + 8 = 0

Ver la solución del ejercicio 5

Ejercicio 6: Rectas y Planos

6. Geometría
Estudie la posición relativa de la recta

r : \frac{x + 1}{1} = \frac{y - 1}{k} = \frac{z}{3}

y el plano

π : a x + 4 y + 3 a z + 2 = 0

en función de los parámetros

k

a

. Luego, si es posible, diga cuándo

r

es perpendicular a

π

Ver la solución del ejercicio 6

Ejercicio 7: Probabilidad

7. Estadística y Probabilidad

a) En una famosa biblioteca, el 70% de los libros son novelas, el 40% son clásicos anteriores al siglo XIX y el 60% de los clásicos son novelas. Si se elige en esa biblioteca un libro al azar, calcule la probabilidad de que no sea una novela, pero sí un clásico, y la probabilidad de que sea un clásico sabiendo que es una novela.
b) En un cierto país, el 80% de los delitos contra la propiedad quedan sin resolver. Si en una localidad de ese país se cometieron 3 de esos delitos, calcule la probabilidad de que se resuelva por lo menos 1.

Ver la solución del ejercicio 7

Ejercicio 8: Distribución binomial

8. Estadística y Probabilidad

a) Se hace un examen tipo test con 60 preguntas y 4 opciones por pregunta, de las que solo una es correcta. Calcule la probabilidad de acertar por lo menos 16 preguntas si se responden las 60 al azar.
b) Si

X

sigue una distribución normal de media 25 y desviación típica 2, calcule

P (X < 24)

. Luego, calcule el valor de

α > 0