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Examen de Matemáticas II de Galicia 2023 (convocatoria extraordinaria)

Ejercicios del examen de selectividad de Matemáticas II de Galicia, convocatoria extraordinaria de 2023. Aquí hay 8 ejercicios publicados, 8 con la solución desarrollada. El enunciado completo es el del PDF oficial.

Descargar el PDF oficial del examen

Ejercicio 1: Matrices

1. Números y Álgebra:

a) Calcule

A

(A B)^{T} = (\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{array})

B = (\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ - 1 & 1 \end{array})

.
b) Si

A = (\begin{array}{cc} 3 & x \\ y & z \end{array})

es invertible, obtenga los valores de

x

y

z

sabiendo que

\det (A - 3 I) = 0

, que

y \neq 0

y que

(3 z) A^{- 1} + I = (\begin{array}{cc} 2 & 0 \\ - 1 & 4 \end{array})

. Entiéndase que

I

es la matriz identidad.

Ver la solución del ejercicio 1

Ejercicio 2: Sistemas de ecuaciones

2. Números y Álgebra:
Discuta, según los valores del parámetro

m

, el sistema

{\begin{array}{rcrcrcr} (m + 1) x & + & z & = & 1, \\ (m + 1) x & + & y & + & z & = & m + 1, \\ (m + 1) x & + & m y & + & (m - 1) z & = & m . \end{array}

Ver la solución del ejercicio 2

Ejercicio 3: Derivadas

3. Análisis:

a) Enuncie los teoremas de Rolle y del valor medio del cálculo diferencial.
b) Explique si

f : [0, 1] \to R

f (x) = \sqrt{1 - x^{2}}

, está o no en las hipótesis del teorema del valor medio del cálculo diferencial. En caso de que lo esté, calcule un valor

c

para el cual se cumpla la tesis de ese teorema.

Ver la solución del ejercicio 3

Ejercicio 4: Integrales y Áreas

4. Análisis:

a) Calcule mediante cambio de variable las integrales

\int (\sin x)^{5} \cos x d x

\int (\ln x) / x d x

.
b) Calcule

\int (\ln x) / x d x

empleando el método de integración por partes. Luego, obtenga algún valor de

B

tal que

\int_{e}^{B} (\ln x) / x d x = 3 / 2

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Ejercicio 5: Rectas y Planos

5. Geometría:

a) Considérense el plano

π : a x + y + z = 1

, donde

a

es un parámetro real, y la recta

r : \frac{x - 1}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z + 1}{3}

. Estudie la posición relativa de

π

r

en función de

a

y obtenga el valor de

a

que hace que

π

r

sean perpendiculares. Por último, razone si

r

puede estar contenida en

π

o no.
b) Si

π : - 3 x + y + z = 1

, diga qué valor tiene que tomar

b

para que

r : \frac{x - 1}{2} = \frac{y - b}{3} = \frac{z + 1}{3}

esté contenida en

π

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Ejercicio 6: Rectas y Planos

6. Geometría:
Considérese el plano

π : 2 x - y + z = 1

. Se pide:

a) Calcular la distancia de

π

al punto de corte de las rectas

r_{1} : {\begin{cases} x = 2 + λ, \\ y = 0, \\ z = - 1 - λ \end{cases}

r_{2} : {\begin{cases} x = μ, \\ y = - 1 + μ, \\ z = 0, \end{cases}

(λ, μ \in R)

.
b) Obtener el punto simétrico de

P (1, 0, 0)

con respecto a

π

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Ejercicio 7: Probabilidad

7. Estadística y Probabilidad:

a) Calcule

P (A ∣ B)

B \subset A

. Luego, si

P (C) = 0.5

P (D) = 0.6

, explique si

C

D

pueden ser incompatibles. Por último, obtenga

P (E \cup F)

P (E \cap \overset{ˉ}{F})

E

F

son independientes,

P (E) = 0.3

P (F) = 0.2

.
b) Se tira un dado siete veces. Calcule la probabilidad de que salgan exactamente dos seises.

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Ejercicio 8: Distribución normal

8. Estadística y Probabilidad:
Para un determinado grupo de pacientes, la tensión arterial sistólica (medida en mmHg) sigue una distribución normal de media 123.6 y desviación típica 17.8. Calcule la probabilidad de que un paciente elegido al azar tenga una tensión comprendida entre 100 y 120 mmHg. Luego, obtenga el valor de la tensión que es superado por el 67% de los pacientes.

Ver la solución del ejercicio 8