Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2023

5. Geometría:

a) Considérense el plano $\pi :ax+y+z=1$, donde $a$ es un parámetro real, y la recta $r:{\displaystyle \frac{x-1}{2}}={\displaystyle \frac{y}{3}}={\displaystyle \frac{z+1}{3}}$. Estudie la posición relativa de $\pi$ y $r$ en función de $a$ y obtenga el valor de $a$ que hace que $\pi$ y $r$ sean perpendiculares. Por último, razone si $r$ puede estar contenida en $\pi$ o no.
b) Si $\pi :-3x+y+z=1$, diga qué valor tiene que tomar $b$ para que $r:{\displaystyle \frac{x-1}{2}}={\displaystyle \frac{y-b}{3}}={\displaystyle \frac{z+1}{3}}$ esté contenida en $\pi$.

De las ecuaciones leemos los elementos de cada figura.

${\vec{n}}_{\pi }=(a,1,1)P_r(1,0,-1),{\vec{v}}_r=(2,3,3)$

La posición relativa la decide el producto escalar del normal por el director.

${\vec{n}}_{\pi }\cdot {\vec{v}}_r=2a+3+3=2a+6$

Si $2a+6\mathrm{\ne }0$, es decir, $a\mathrm{\ne }-3$, el producto escalar no se anula y la recta corta al plano en un punto.

Si $a=-3$, el producto escalar se anula y la recta es paralela al plano o está contenida en él. Lo decidimos comprobando si su punto pertenece al plano:

$P_r(1,0,-1):-3\cdot 1+0+(-1)=-4\mathrm{\ne }1\Rightarrow P_r\mathrm{\notin }\pi$

Luego para $a=-3$ la recta es paralela al plano y exterior a él.

Para que sean perpendiculares, el vector director de la recta y el normal del plano han de ser proporcionales.

${\displaystyle \frac{a}{2}}={\displaystyle \frac{1}{3}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$

Las dos últimas fracciones ya coinciden, así que basta con la primera igualdad:

${\displaystyle \frac{a}{2}}={\displaystyle \frac{1}{3}}\Rightarrow a={\displaystyle \frac{2}{3}}$

Por último, la recta solo podría estar contenida en el plano si fuese paralela a él, lo que exige $a=-3$; pero acabamos de ver que con ese valor el punto $P_r$ no pertenece al plano. Por tanto, no hay ningún valor de $a$ para el que $r$ esté contenida en $\pi$.



Ahora el plano es el del caso $a=-3$, para el que ya sabemos que la recta es paralela: el vector director sigue siendo ${\vec{v}}_r=(2,3,3)$ y

${\vec{n}}_{\pi }\cdot {\vec{v}}_r=-6+3+3=0$

sea cual sea $b$, porque $b$ solo desplaza el punto de paso. Basta entonces con imponer que ese punto, $P_r(1,b,-1)$, pertenezca al plano.

$-3\cdot 1+b+(-1)=1\Rightarrow -4+b=1\Rightarrow b=5$

La recta está contenida en el plano únicamente para $b=5$.