Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2023

6. Geometría:
Considérese el plano $\pi :2x-y+z=1$. Se pide:

a) Calcular la distancia de $\pi$ al punto de corte de las rectas $r_1:\{\begin{array}{l}x=2+\lambda ,\\ y=0,\\ z=-1-\lambda \end{array}$ y $r_2:\{\begin{array}{l}x=\mu ,\\ y=-1+\mu ,\\ z=0,\end{array}$ $(\lambda ,\mu \in \mathbb{R})$.
b) Obtener el punto simétrico de $P(1,0,0)$ con respecto a $\pi$.

Buscamos primero el punto de corte igualando las coordenadas de un punto genérico de cada recta.

$\{\begin{array}{l}2+\lambda =\mu \\ 0=-1+\mu \\ -1-\lambda =0\end{array}$

De la tercera ecuación, $\lambda =-1$; de la segunda, $\mu =1$. Comprobamos en la primera: $2-1=1=\mu$, se cumple, luego las rectas efectivamente se cortan.

$\lambda =-1\Rightarrow (2-1,0,-1+1)=(1,0,0)$

El punto de corte es $C(1,0,0)$. Aplicamos ahora la fórmula de la distancia de un punto a un plano, escribiendo antes $\pi$ con todos los términos en el primer miembro.

$\pi :2x-y+z-1=0$

$d(C,\pi )={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }2\cdot 1-0+0-1\mathrm{\mid }}{\sqrt{2^2+(-1{)}^2+1^2}}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{6}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{6}}\approx \mathrm{0,41}\text{ u}$

La distancia del plano al punto de corte de las dos rectas es ${\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{6}}$ unidades de longitud.



El punto es justamente el de corte del apartado anterior. Procedemos en tres fases.



i) Construimos la recta $s$ que, pasando por $P$, es perpendicular a $\pi$; su vector director es el normal del plano.

${\vec{v}}_s={\vec{n}}_{\pi }=(2,-1,1)\Rightarrow s:\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=-t\\ z=t\end{array}t\in \mathbb{R}$

ii) Calculamos $R$, pie de la perpendicular, como intersección de $s$ con $\pi$.

$2(1+2t)-(-t)+t-1=0\Rightarrow 2+4t+t+t-1=0\Rightarrow 6t+1=0\Rightarrow t=-{\displaystyle \frac{1}{6}}$

$R=(1-{\displaystyle \frac{2}{6}},{\displaystyle \frac{1}{6}},-{\displaystyle \frac{1}{6}})=({\displaystyle \frac{2}{3}},{\displaystyle \frac{1}{6}},-{\displaystyle \frac{1}{6}})$

iii) Basta razonar que $R$ es el punto medio del segmento $\overline{P{P}^{\mathrm{\prime }}}$.

$P^{\mathrm{\prime }}=2R-P=({\displaystyle \frac{4}{3}},{\displaystyle \frac{1}{3}},-{\displaystyle \frac{1}{3}})-(1,0,0)=({\displaystyle \frac{1}{3}},{\displaystyle \frac{1}{3}},-{\displaystyle \frac{1}{3}})$

El punto simétrico de $P$ respecto del plano $\pi$ es $P^{\mathrm{\prime }}({\displaystyle \frac{1}{3}},{\displaystyle \frac{1}{3}},-{\displaystyle \frac{1}{3}})$.