Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2024

PREGUNTA 5. Geometría. (2 puntos)
Considérense el plano $\pi :x+2y-2z=0$ y la recta $r$ que pasa por los puntos $A(2,1,2)$ y $B(0,1,1)$. Se pide:

a) Estudiar la posición relativa de la recta $r$ y el plano $\pi$.
b) Obtener la ecuación implícita o general del plano que contiene a $r$ y es perpendicular a $\pi$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Estudiar}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{posici}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{relativa}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{recta}}\mathit{r}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{plano}}\mathit{\pi }\mathbf{\text{.}}$

La recta $r$ pasa por $A(2,1,2)$ y por $B(0,1,1)$, de modo que un vector director suyo es:

${\vec{v}}_r=\overrightarrow{AB}=(0,1,1)-(2,1,2)=(-2,0,-1)$

El vector normal del plano se lee de su ecuación:

${\vec{n}}_{\pi }=(1,2,-2)$

Comparamos ambos vectores mediante su producto escalar, que decide si la recta es paralela al plano o lo corta.

${\vec{n}}_{\pi }\cdot {\vec{v}}_r=1\cdot (-2)+2\cdot 0+(-2)\cdot (-1)=-2+0+2=0$

El producto escalar se anula, luego la recta es paralela al plano o está contenida en él. Para distinguir los dos casos comprobamos si uno de sus puntos pertenece al plano.

$A(2,1,2):2+2\cdot 1-2\cdot 2=2+2-4=0\Rightarrow A\in \pi$

La recta tiene un punto en el plano y es paralela a él, así que la recta $r$ está contenida en el plano $\pi$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Obtener}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{ecuaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{impl}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{cita}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{general}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{plano}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{contiene}}\mathbf{\text{a}}\mathit{r}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{perpendicular}}\mathbf{\text{a}}\mathit{\pi }\mathbf{\text{.}}$

El plano buscado, al que llamamos $\sigma$, contiene la dirección de la recta y, por ser perpendicular a $\pi$, contiene también la dirección del vector normal de $\pi$. Su vector normal es el producto vectorial de ambos.

${\vec{n}}_{\sigma }={\vec{v}}_r\times {\vec{n}}_{\pi }=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ -2& 0& -1\\ 1& 2& -2\end{array}\mid =(0+2,-1-4,-4-0)=(2,-5,-4)$

$\sigma :2x-5y-4z+D=0$

Imponemos que pase por un punto de la recta, por ejemplo $A(2,1,2)$:

$2\cdot 2-5\cdot 1-4\cdot 2+D=0\Rightarrow 4-5-8+D=0\Rightarrow D=9$

Finalmente, $\sigma :2x-5y-4z+9=0$. Se comprueba con el otro punto de la recta, $B(0,1,1)$: $0-5-4+9=0$.