Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2020

Ejercicio A2
Dada la recta
$r=\{\begin{array}{l}3x+y-z=2\\ 2x+y+4z=1,\end{array}$ y el plano $\pi =3x+(\alpha +1)(y+1)+\alpha z=1$,

a) hallar $\alpha$ para que la recta y el plano sean paralelos,
b) determinar si el punto $P=(1,1,2)$ pertenece al plano hallado en a).

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Hallar}}\mathit{\alpha }\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{recta}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{plano}}\mathbf{\text{sean}}\mathbf{\text{paralelos.}}$

La recta viene dada como intersección de dos planos, de modo que su vector director es perpendicular a los dos normales: lo obtenemos con el producto vectorial.

${\vec{n}}_1=(3,1,-1),{\vec{n}}_2=(2,1,4)$

${\vec{v}}_r={\vec{n}}_1\times {\vec{n}}_2=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 3& 1& -1\\ 2& 1& 4\end{array}\mid$

$=(1\cdot 4-(-1)\cdot 1,(-1)\cdot 2-3\cdot 4,3\cdot 1-1\cdot 2)=(5,-14,1)$

Del plano leemos el vector normal, que es el de los coeficientes de $x$, $y$ y $z$:

${\vec{n}}_{\pi }=(3,\alpha +1,\alpha )$

Una recta es paralela a un plano cuando su vector director es perpendicular al vector normal, es decir, cuando el producto escalar se anula.

${\vec{v}}_r\cdot {\vec{n}}_{\pi }=0\Rightarrow 5\cdot 3+(-14)(\alpha +1)+1\cdot \alpha =0$

$15-14\alpha -14+\alpha =0\Rightarrow 1-13\alpha =0$

$\alpha ={\displaystyle \frac{1}{13}}$



Basta sustituir las coordenadas del punto en la ecuación del plano con el valor de $\alpha$ obtenido y comprobar si se cumple la igualdad.

$\pi :3x+({\displaystyle \frac{1}{13}}+1)(y+1)+{\displaystyle \frac{1}{13}}z=1$

$3\cdot 1+{\displaystyle \frac{14}{13}}(1+1)+{\displaystyle \frac{1}{13}}\cdot 2=3+{\displaystyle \frac{28}{13}}+{\displaystyle \frac{2}{13}}$

$={\displaystyle \frac{39+28+2}{13}}={\displaystyle \frac{69}{13}}$

${\displaystyle \frac{69}{13}}\mathrm{\ne }1$

El punto $P(1,1,2)$ no pertenece al plano.