Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2021

Ejercicio A2
Sea $r$ la recta de ecuaciones paramétricas
$\{x=t,y=2+2t,z=1+3t\},$
y sean $A=(1,2,3)$ y $B=(3,2,1)$. Encontrar la ecuación del plano paralelo a la recta $r$ y que pasa por los puntos $A$ y $B$. Calcular la distancia de la recta $r$ a ese plano.

$\mathbf{\text{Encontrar}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{ecuaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{plano}}\mathbf{\text{paralelo}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{recta}}\mathit{r}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{pasa}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{puntos}}\mathit{A}\mathbf{\text{y}}\mathit{B}\mathbf{\text{.}}$

El plano ha de contener la dirección de $\overrightarrow{AB}$ y, por ser paralelo a la recta, también la de su vector director. Su vector normal es entonces el producto vectorial de ambos.

$\overrightarrow{AB}=(3,2,1)-(1,2,3)=(2,0,-2)$

${\vec{v}}_r=(1,2,3),P_r(0,2,1)\in r$

${\vec{n}}_{\pi }=\overrightarrow{AB}\times {\vec{v}}_r=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 2& 0& -2\\ 1& 2& 3\end{array}\mid =(4,-8,4)$

Dividiendo entre $4$:

${\vec{n}}_{\pi }=(1,-2,1)$

$\pi :x-2y+z+D=0$

Imponemos que pase por $A(1,2,3)$:

$1-4+3+D=0\Rightarrow D=0$

$\pi \equiv x-2y+z=0$

Comprobamos con $B(3,2,1)$: $3-4+1=0$. Y que el plano es efectivamente paralelo a la recta:

${\vec{v}}_r\cdot {\vec{n}}_{\pi }=1-4+3=0$

$\mathbf{\text{Calcular}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{distancia}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{recta}}\mathit{r}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{ese}}\mathbf{\text{plano.}}$

Antes de medir hay que asegurarse de que la recta no está contenida en el plano; para ello se sustituye uno de sus puntos.

$P_r(0,2,1):0-4+1=-3\mathrm{\ne }0$

No lo verifica, luego la recta es paralela al plano y exterior a él. Todos sus puntos equidistan del plano, así que basta calcular la distancia desde $P_r$.

$d(r,\pi )=d(P_r,\pi )={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }0-2\cdot 2+1\mathrm{\mid }}{\sqrt{1^2+(-2{)}^2+1^2}}}={\displaystyle \frac{3}{\sqrt{6}}}$

Racionalizando el denominador:

$d(r,\pi )={\displaystyle \frac{3\sqrt{6}}{6}}={\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{2}}\approx \mathrm{1,22}\text{ u}$

La distancia de la recta al plano es ${\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{2}}$ unidades.