Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2021

Ejercicio B2
Encontrar las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por el punto $P=(-2,1,0)$ y corta perpendicularmente a la recta $r$ de ecuaciones paramétricas
$\{x=1-2t,y=1+t,z=t\}\mathrm{.}$
Calcular la distancia de $P$ al punto de corte de ambas rectas.

La recta pedida pasa por $P$ y por el pie $Q$ de la perpendicular trazada desde $P$ hasta $r$, así que lo primero es localizar ese pie. De las paramétricas de $r$ leemos un punto y el vector director.

$P_r(1,1,0),{\vec{v}}_r=(-2,1,1)$

Un punto genérico de la recta es $Q(1-2t,1+t,t)$, y el vector $\overrightarrow{PQ}$ debe ser perpendicular al director.

$\overrightarrow{PQ}=(1-2t,1+t,t)-(-2,1,0)=(3-2t,t,t)$

$\overrightarrow{PQ}\cdot {\vec{v}}_r=0\Rightarrow -2(3-2t)+t+t=0$

$-6+4t+2t=0\Rightarrow 6t=6\Rightarrow t=1$

$Q(-1,2,1)$

El vector director de la recta buscada es el que une los dos puntos:

$\overrightarrow{PQ}=(-1,2,1)-(-2,1,0)=(1,1,1)$

Comprobamos la perpendicularidad: $(1,1,1)\cdot (-2,1,1)=-2+1+1=0$.

$s:\{\begin{array}{l}x=-2+\mu \\ y=1+\mu \\ z=\mu \end{array},\mu \in \mathbb{R}$

$\mathbf{\text{Calcular}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{distancia}}\mathbf{\text{de}}\mathit{P}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{corte}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ambas}}\mathbf{\text{rectas.}}$

El punto de corte es precisamente el pie $Q$, así que la distancia es el módulo del vector que acabamos de calcular.

$d(P,Q)=\mid \overrightarrow{PQ}\mid =\sqrt{1^2+1^2+1^2}=\sqrt{3}\approx \mathrm{1,73}\text{ u}$

La distancia de $P$ al punto de corte es $\sqrt{3}$ unidades.