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Examen de Matemáticas II de País Vasco 2021 (convocatoria ordinaria)

Ejercicios del examen de selectividad de Matemáticas II de País Vasco, convocatoria ordinaria de 2021. Aquí hay 10 ejercicios publicados, 10 con la solución desarrollada. El enunciado completo es el del PDF oficial.

Descargar el PDF oficial del examen

Ejercicio 1: Sistemas de ecuaciones

Ejercicio A1
Discutir el siguiente sistema de ecuaciones lineales, en función del parámetro

α

{\begin{cases} α x - y + z = 1, \\ 3 x - y + α z = α, \\ x + (α - 1) z = 1. \end{cases}

Resolver el sistema para

α = 3

, si es posible.

Ver la solución del ejercicio 1

Ejercicio 2: Matrices

Ejercicio B1
Sea la matriz

A = (\begin{array}{ccc} 2 & 3 & α \\ 1 & α & 1 \\ 0 & α & - 1 \end{array}) .

a) Determinar para qué valores del parámetro

α

la matriz

A

no tiene inversa.
b) Calcular, si es posible, la matriz inversa de

A

para

α = 2

Ver la solución del ejercicio 2

Ejercicio 3: Rectas y Planos

Ejercicio A2
Sean

r

la recta que pasa por los puntos

A = (1, a, - 1)

B = (b, 1, 1)

π

el plano de ecuación

x + y - 2 z = 2 b

.

a) Calcular los valores de los parámetros

a

b

para que la recta

r

sea perpendicular al plano

π

.
b) Calcular los valores de los parámetros

a

b

para que la recta

r

esté contenida en el plano

π

Ver la solución del ejercicio 3

Ejercicio 4: Rectas y Planos

Ejercicio B2
Encontrar las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por el punto

P = (- 2, 1, 0)

y corta perpendicularmente a la recta

r

de ecuaciones paramétricas

{x = 1 - 2 t, y = 1 + t, z = t} .

Calcular la distancia de

P

al punto de corte de ambas rectas.

Ver la solución del ejercicio 4

Ejercicio 5: Derivadas

Ejercicio A3
Estudiar los máximos, los mínimos y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función

f (x) = 5 + 8 x^{2} - x^{4}

. Representar la gráfica de

f

Ver la solución del ejercicio 5

Ejercicio 6: Derivadas

Ejercicio B3
Sea la función

f (x) = A x^{3} + B x^{2} + C x + A

.

a) Obtener los valores de los parámetros

A

B

C

para que la gráfica de

f

pase por el punto

(0, 1)

y tenga un mínimo en el punto

(1, 1)

.
b) ¿La función obtenida tiene otros máximos o mínimos? En caso afirmativo, encontrarlos.

Ver la solución del ejercicio 6

Ejercicio 7: Integrales y Áreas

Ejercicio A4
Sean las funciones:

f (x) = 1 / x

g (x) = x^{2}

h (x) = x^{2} / 8

.

a) Dibujar el recinto finito, en el primer cuadrante, limitado por las gráficas de esas tres funciones.
b) Calcular el área de dicho recinto.

Ver la solución del ejercicio 7

Ejercicio 8: Integrales y Áreas

Ejercicio B4
Calcular, explicando los métodos utilizados,

I = \int (x + 2) \sin (2 x) d x y J = \int \frac{x + 7}{x^{2} - 4 x - 5} d x .

Ver la solución del ejercicio 8

Ejercicio 9: Árboles de decisión

Ejercicio A5
En una farmacia se ha recibido un lote de medicamentos de los tipos A, I y M. El 80 % corresponde al medicamento A, el 10 % al I y el resto al M. En la revisión realizada por la farmacéutica se ha observado que hay medicamentos caducados en los siguientes porcentajes: el 10 % de A, el 20 % de I y el 5 % de M. Se elige una caja de medicamentos al azar. Hallar:

a) La probabilidad de coger un medicamento caducado.
b) Si sabemos que el medicamento está caducado, la probabilidad de que sea del tipo A.

Ver la solución del ejercicio 9

Ejercicio 10: Distribución binomial

Ejercicio B5
En una ciudad se han elegido al azar 3900 personas. Hallar:

a) La probabilidad de que al menos 15 de ellas cumplan años el día del patrón de la ciudad.
b) La probabilidad de que el número de personas que cumplan años el día del patrón esté comprendido entre 5 y 15, ambos incluidos.

Ver la solución del ejercicio 10