Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2021

Ejercicio A2
Sean $r$ la recta que pasa por los puntos $A=(1,a,-1)$ y $B=(b,1,1)$ y $\pi$ el plano de ecuación $x+y-2z=2b$.

a) Calcular los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que la recta $r$ sea perpendicular al plano $\pi$.
b) Calcular los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que la recta $r$ esté contenida en el plano $\pi$.

La recta queda determinada por el vector que une los dos puntos dados, y el plano por su vector normal. Los escribimos antes de nada, porque los dos apartados se apoyan en ellos.

${\vec{v}}_r=\overrightarrow{AB}=(b,1,1)-(1,a,-1)=(b-1,1-a,2)$

${\vec{n}}_{\pi }=(1,1,-2)$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcular}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{par}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{metros}}\mathit{a}\mathbf{\text{y}}\mathit{b}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{recta}}\mathit{r}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{perpendicular}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{plano}}\mathit{\pi }\mathbf{\text{.}}$

Una recta es perpendicular a un plano cuando su vector director tiene la misma dirección que el vector normal, es decir, cuando sus coordenadas son proporcionales.

${\displaystyle \frac{b-1}{1}}={\displaystyle \frac{1-a}{1}}={\displaystyle \frac{2}{-2}}$

La última fracción vale $-1$, así que las otras dos también:

$b-1=-1\Rightarrow b=0$

$1-a=-1\Rightarrow a=2$

Para que la recta sea perpendicular al plano debe ser $a=2$ y $b=0$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcular}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{par}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{metros}}\mathit{a}\mathbf{\text{y}}\mathit{b}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{recta}}\mathit{r}\mathbf{\text{est}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{contenida}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{plano}}\mathit{\pi }\mathbf{\text{.}}$

Que la recta esté contenida en el plano exige dos condiciones: que su dirección sea paralela al plano —el producto escalar del director con el normal se anula— y que uno de sus puntos pertenezca al plano.

i) Perpendicularidad entre el director y el normal:

${\vec{v}}_r\cdot {\vec{n}}_{\pi }=0\Rightarrow (b-1)+(1-a)-4=0$

$b-a-4=0$

ii) El punto $A(1,a,-1)$ pertenece al plano:

$1+a-2(-1)=2b\Rightarrow a+3=2b$

Resolvemos el sistema formado por las dos condiciones. De la primera, $b=a+4$; sustituyendo en la segunda:

$a+3=2(a+4)\Rightarrow a+3=2a+8\Rightarrow a=-5$

$b=-5+4=-1$

Comprobamos que el otro punto también está en el plano, como debe ocurrir si la recta entera está contenida:

$B(-1,1,1):-1+1-2=-2=2b=2(-1)$

Para que la recta esté contenida en el plano debe ser $a=-5$ y $b=-1$.