Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2022

Ejercicio B2
Sean el punto $P=(1,2,a)$, donde $a\mathrm{\ne }0$, y el plano $\pi \equiv x+y+2z=3$. Halla las coordenadas del punto simétrico de $P$ respecto al plano $\pi$.

Se procede en tres fases: i) construimos la recta perpendicular al plano por $P$, ii) hallamos su corte $M$ con el plano, y iii) imponemos que $M$ sea el punto medio del segmento.

i) Construimos una recta $s$ que, pasando por $P$, sea perpendicular a $\pi$; su vector director es el normal del plano.

${\vec{n}}_{\pi }=(1,1,2)$

$s:\{\begin{array}{l}x=1+\lambda \\ y=2+\lambda \\ z=a+2\lambda \end{array},\lambda \in \mathbb{R}$

ii) Calculamos $M$ como intersección de $s$ y $\pi$:

$(1+\lambda )+(2+\lambda )+2(a+2\lambda )=3$

$3+2\lambda +2a+4\lambda =3\Rightarrow 6\lambda =-2a\Rightarrow \lambda =-{\displaystyle \frac{a}{3}}$

$M(1-{\displaystyle \frac{a}{3}},2-{\displaystyle \frac{a}{3}},a-{\displaystyle \frac{2a}{3}})=M(1-{\displaystyle \frac{a}{3}},2-{\displaystyle \frac{a}{3}},{\displaystyle \frac{a}{3}})$

Comprobamos que está en el plano:

$(1-{\displaystyle \frac{a}{3}})+(2-{\displaystyle \frac{a}{3}})+2\cdot {\displaystyle \frac{a}{3}}=3$

iii) Basta razonar que $M$ es el punto medio del segmento $\overline{P{P}^{\mathrm{\prime }}}$. Despejando:

$P^{\mathrm{\prime }}=2M-P$

$P_x^{\mathrm{\prime }}=2(1-{\displaystyle \frac{a}{3}})-1=1-{\displaystyle \frac{2a}{3}}$

$P_y^{\mathrm{\prime }}=2(2-{\displaystyle \frac{a}{3}})-2=2-{\displaystyle \frac{2a}{3}}$

$P_z^{\mathrm{\prime }}=2\cdot {\displaystyle \frac{a}{3}}-a=-{\displaystyle \frac{a}{3}}$

El punto simétrico es $P^{\mathrm{\prime }}(1-{\displaystyle \frac{2a}{3}},2-{\displaystyle \frac{2a}{3}},-{\displaystyle \frac{a}{3}})$.

Obsérvese que la condición $a\mathrm{\ne }0$ del enunciado garantiza que $P$ no está en el plano —si $a=0$ resultaría $1+2+0=3$ y el punto sería su propio simétrico—.