Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2023

Ejercicio A2
Sean la recta $r$ y el plano $\pi$, que se cortan perpendicularmente en el punto $P(1,-1,2)$. Si el plano $\pi$ pasa por el punto $Q(1,2,3)$ y contiene al vector $(0,0,2)$, calcula las ecuaciones de la recta $r$ y del plano $\pi$.

$\mathbf{\text{Calcula}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{ecuaciones}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{recta}}\mathit{r}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{plano}}\mathit{\pi }\mathbf{\text{.}}$

Conviene empezar por el plano, porque de él sale el vector normal, y ese mismo vector es el director de la recta al ser ambos perpendiculares.

El plano pasa por $P$ (que es el punto de corte, luego también le pertenece) y por $Q$, y contiene además el vector $(0,0,2)$. Tenemos, pues, dos vectores contenidos en él:

$\overrightarrow{PQ}=(1,2,3)-(1,-1,2)=(0,3,1)$

$\vec{u}=(0,0,2)$

Su producto vectorial da el vector normal:

${\vec{n}}_{\pi }=\overrightarrow{PQ}\times \vec{u}=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 0& 3& 1\\ 0& 0& 2\end{array}\mid =(6,0,0)$

Dividiendo entre $6$:

${\vec{n}}_{\pi }=(1,0,0)$

$\pi :x+D=0$

Imponiendo que pase por $P(1,-1,2)$:

$1+D=0\Rightarrow D=-1$

$\pi \equiv x-1=0$

Comprobamos que $Q(1,2,3)$ también lo verifica: $1-1=0$.

La recta es perpendicular al plano, de modo que su vector director es el normal de este, y pasa por el punto de corte $P$:

${\vec{v}}_r={\vec{n}}_{\pi }=(1,0,0)$

$r:\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=-1\\ z=2\end{array},t\in \mathbb{R}$

El plano es $\pi \equiv x-1=0$ y la recta, $r$, es la paralela al eje $OX$ que pasa por $P(1,-1,2)$.