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Examen de Matemáticas II de País Vasco 2023 (convocatoria extraordinaria)

Ejercicios del examen de selectividad de Matemáticas II de País Vasco, convocatoria extraordinaria de 2023. Aquí hay 10 ejercicios publicados, 10 con la solución desarrollada. El enunciado completo es el del PDF oficial.

Descargar el PDF oficial del examen

Ejercicio 1: Sistemas de ecuaciones

Ejercicio A1
Se considera el sistema de ecuaciones lineales que sigue:

{\begin{cases} 3 x + y + α z = 0, \\ 2 x + α y + z = 1, \\ 3 x + α y + z = α - 1. \end{cases}

Discute su compatibilidad en función de los valores del parámetro

α

.
Resuelve el sistema para

α = 0

, si es posible.

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Ejercicio 2: Matrices

Ejercicio B1
Calcula las dos matrices

A

B

que satisfacen las siguientes igualdades:

A + B = (\begin{array}{cccc} 2 & 8 & 2 & 9 \\ 2 & 6 & 2 & 11 \end{array}),

3 A - 2 B = (\begin{array}{cccc} 6 & - 16 & 6 & - 3 \\ - 4 & 18 & - 4 & 18 \end{array}) .

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Ejercicio 3: Rectas y Planos

Ejercicio A2
Sean la recta

r

y el plano

π

, que se cortan perpendicularmente en el punto

P (1, - 1, 2)

. Si el plano

π

pasa por el punto

Q (1, 2, 3)

y contiene al vector

(0, 0, 2)

, calcula las ecuaciones de la recta

r

y del plano

π

Ver la solución del ejercicio 3

Ejercicio 4: Rectas y Planos

Ejercicio B2
Se consideran tres planos de ecuaciones:

π_{1} \equiv 4 x + 2 y - 4 z = 2, π_{2} \equiv x - y - z = 2 y π_{3} \equiv x + a y + z = b .

¿Existen valores de los parámetros

a

b

para los cuales los tres planos se cortan en una recta? En caso de que la respuesta sea negativa, razónala. En el caso de que la respuesta sea positiva, calcula dichos valores.

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Ejercicio 5: Funciones

Ejercicio A3
Sea

f (x) = \frac{x}{x^{2} + 1}

. Estudia los intervalos de crecimiento y decrecimiento de

f

, calcula sus asíntotas, y encuentra la recta tangente a la gráfica de

f

en el punto de abscisa

x = 0

. Haz una representación aproximada de la gráfica de la función

f

Ver la solución del ejercicio 5

Ejercicio 6: Derivadas

Ejercicio B3
Sea

f (x) = x^{3} + A x^{2} + B x + C

. Encuentra los valores de los parámetros

A

B

C

para que

f (0) = 2

, las rectas tangentes a la gráfica de

f

en los puntos de abscisa

x = 1

x = 3

sean paralelas y

f

tenga un extremo relativo en el punto

x = - 1

. Ese extremo relativo, ¿es un máximo o un mínimo? Estudia si

f

tiene algún otro extremo relativo y determina si son máximos o mínimos.

Ver la solución del ejercicio 6

Ejercicio 7: Integrales y Áreas

Ejercicio A4
Calcula

\int (x^{2} + 1) e^{x + 1} d x

, explicando el método utilizado.

Ver la solución del ejercicio 7

Ejercicio 8: Integrales y Áreas

Ejercicio B4
Dibuja el recinto limitado por las parábolas de ecuaciones

y = 2 x^{2} - 4 x + 3

y = x^{2} - 2 x + 3

y calcula el área de ese recinto.

Ver la solución del ejercicio 8

Ejercicio 9: Árboles de decisión

Ejercicio A5
Tenemos dos dados, uno normal y otro trucado. En el trucado hay 4 unos y 2 doses. Se elige un dado al azar y se tira dos veces.

a) ¿Cuál es la probabilidad de obtener un 1 en la primera tirada y un 2 en la segunda?
b) Sabiendo que el resultado de la primera tirada ha sido un 1 y el de la segunda ha sido un 2, calcula la probabilidad de que se haya escogido el dado trucado.

Ver la solución del ejercicio 9

Ejercicio 10: Distribución binomial

Ejercicio B5
Una caja que contiene 500 monedas es vaciada sobre una mesa. Halla

a) la probabilidad de que el número de caras sea mayor que 240;
b) la probabilidad de que el número de caras sea menor que 230;
c) la probabilidad de que el número de caras esté comprendido entre 230 y 240, ambos incluidos.

Ver la solución del ejercicio 10