Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2023

Ejercicio B1
Calcula las dos matrices $A$ y $B$ que satisfacen las siguientes igualdades:
$A+B=\left(\begin{array}{cccc}2& 8& 2& 9\\ 2& 6& 2& 11\end{array}\right),$
$3A-2B=\left(\begin{array}{cccc}6& -16& 6& -3\\ -4& 18& -4& 18\end{array}\right)\mathrm{.}$

$\mathbf{\text{Calcula}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{matrices}}\mathit{A}\mathbf{\text{y}}\mathit{B}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{satisfacen}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{igualdades}}\mathbf{\text{dadas.}}$

Se trata de un sistema de dos ecuaciones matriciales con dos matrices incógnita. Se resuelve igual que un sistema numérico, por reducción: combinamos las dos ecuaciones de modo que desaparezca una de las incógnitas.

$\{\begin{array}{l}A+B=S\\ 3A-2B=T\end{array}$

Multiplicando la primera ecuación por $2$ y sumándole la segunda se elimina $B$:

$2(A+B)+(3A-2B)=2S+T\Rightarrow 5A=2S+T$

Calculamos el segundo miembro:

$2S=\left(\begin{array}{cccc}4& 16& 4& 18\\ 4& 12& 4& 22\end{array}\right)$

$2S+T=\left(\begin{array}{cccc}4+6& 16-16& 4+6& 18-3\\ 4-4& 12+18& 4-4& 22+18\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}10& 0& 10& 15\\ 0& 30& 0& 40\end{array}\right)$

Dividiendo entre $5$:

$A=\left(\begin{array}{cccc}2& 0& 2& 3\\ 0& 6& 0& 8\end{array}\right)$

La otra matriz se despeja de la primera ecuación:

$B=S-A=\left(\begin{array}{cccc}2-2& 8-0& 2-2& 9-3\\ 2-0& 6-6& 2-0& 11-8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}0& 8& 0& 6\\ 2& 0& 2& 3\end{array}\right)$

Comprobamos las dos igualdades del enunciado:

$A+B=\left(\begin{array}{cccc}2& 8& 2& 9\\ 2& 6& 2& 11\end{array}\right)$

$3A-2B=\left(\begin{array}{cccc}6& 0& 6& 9\\ 0& 18& 0& 24\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cccc}0& 16& 0& 12\\ 4& 0& 4& 6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}6& -16& 6& -3\\ -4& 18& -4& 18\end{array}\right)$

Las matrices pedidas son $A=\left(\begin{array}{cccc}2& 0& 2& 3\\ 0& 6& 0& 8\end{array}\right)$ y $B=\left(\begin{array}{cccc}0& 8& 0& 6\\ 2& 0& 2& 3\end{array}\right)$.