Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2020

Cuestión 2.

Considere las matrices $A=\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ -1& -2\end{array}\right)$ y $B=\left(\begin{array}{cc}-1& -3\\ 1& 2\end{array}\right)$.
a) [1 p.] Compruebe que las matrices $A$ y $B$ son regulares (o inversibles) y calcule sus matrices inversas.
b) [1,5 p.] Resuelva la ecuación matricial $AXB=A^t-3B$, donde $A^t$ denota la matriz traspuesta de $A$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{p.]}}\mathbf{\text{Compruebe}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{matrices}}\mathit{A}\mathbf{\text{y}}\mathit{B}\mathbf{\text{son}}\mathbf{\text{regulares}}\mathbf{\text{(o}}\mathbf{\text{inversibles)}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{calcule}}\mathbf{\text{sus}}\mathbf{\text{matrices}}\mathbf{\text{inversas.}}$

Una matriz cuadrada es regular exactamente cuando su determinante no se anula.

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{cc}2& 3\\ -1& -2\end{array}\mid =-4+3=-1\mathrm{\ne }0$

$\mathrm{\mid }B\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{cc}-1& -3\\ 1& 2\end{array}\mid =-2+3=1\mathrm{\ne }0$

Las dos son regulares. Aplicamos la fórmula de la inversa de una matriz de orden dos.

$A^{-1}={\displaystyle \frac{1}{-1}}\left(\begin{array}{cc}-2& -3\\ 1& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ -1& -2\end{array}\right)$

$B^{-1}=\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ -1& -1\end{array}\right)$

Merece la pena notar que $A^{-1}=A$: la matriz $A$ es su propia inversa.



Como las dos matrices son invertibles, despejamos multiplicando por $A^{-1}$ por la izquierda y por $B^{-1}$ por la derecha, respetando el lado.

$X=A^{-1}(A^t-3B)B^{-1}$

$A^t=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ 3& -2\end{array}\right),A^t-3B=\left(\begin{array}{cc}5& 8\\ 0& -8\end{array}\right)$

Multiplicamos por pasos:

$A^{-1}(A^t-3B)=\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ -1& -2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}5& 8\\ 0& -8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}10& -8\\ -5& 8\end{array}\right)$

$X=\left(\begin{array}{cc}10& -8\\ -5& 8\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ -1& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}28& 38\\ -18& -23\end{array}\right)$

Comprobamos que $AXB=\left(\begin{array}{cc}5& 8\\ 0& -8\end{array}\right)=A^t-3B$.

La solución de la ecuación matricial es $X=\left(\begin{array}{cc}28& 38\\ -18& -23\end{array}\right)$.