Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2022

Cuestión 2.

Considere las matrices $A=\left(\begin{array}{ccc}0& 3& 4\\ 1& -4& -5\\ -1& 3& 4\end{array}\right)$ y $B=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 1& 1& 0\\ 1& 1& 1\end{array}\right)$.
a) [1 p.] Si $I$ denota la matriz identidad de orden 3, compruebe que $A^3=-I$ y calcule $A^{2023}$.
b) [0,5 p.] Calcule la inversa de $A$.
c) [1 p.] Resuelva la ecuación matricial $AX-B^T=A^2$, donde $B^T$ denota la matriz traspuesta de $B$.

Calculamos las potencias sucesivas de $A$.

$A^2=\left(\begin{array}{ccc}-1& 0& 1\\ 1& 4& 4\\ -1& -3& -3\end{array}\right)$

$A^3=A\cdot A^2=\left(\begin{array}{ccc}-1& 0& 0\\ 0& -1& 0\\ 0& 0& -1\end{array}\right)=-I$

Elevando al cuadrado esa igualdad se obtiene $A^6=(-I{)}^2=I$, de modo que las potencias son periódicas de periodo seis y basta con el resto de dividir el exponente.

$2023=6\cdot 337+1$

$A^{2023}={\left(A^6\right)}^{337}\cdot A=A$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{p.]}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{inversa}}\mathbf{\text{de}}\mathit{A}\mathbf{\text{.}}$

En lugar de calcular la adjunta, aprovechamos la relación del apartado anterior.

$A\cdot A^2=-I\Rightarrow A\cdot (-A^2)=I$

La matriz que multiplicada por $A$ da la identidad es su inversa, así que basta cambiar de signo $A^2$.

$A^{-1}=-A^2=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& -1\\ -1& -4& -4\\ 1& 3& 3\end{array}\right)$



Despejamos $X$ multiplicando por la izquierda por la inversa, ya que ese es el lado por el que aparece $A$.

$AX=A^2+B^T\Rightarrow X=A^{-1}(A^2+B^T)$

$B^T=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 1\end{array}\right),A^2+B^T=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 2\\ 1& 5& 5\\ -1& -3& -2\end{array}\right)$

$X=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& -1\\ -1& -4& -4\\ 1& 3& 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 2\\ 1& 5& 5\\ -1& -3& -2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 4& 4\\ 0& -9& -14\\ 0& 7& 11\end{array}\right)$

La solución de la ecuación matricial es $X=\left(\begin{array}{ccc}1& 4& 4\\ 0& -9& -14\\ 0& 7& 11\end{array}\right)$.