Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2023

Cuestión 2.

Se dice que una matriz cuadrada $A$ es 2-nilpotente si cumple que $A^2=0$.
a) [0,75 p.] Justifique razonadamente que una matriz 2-nilpotente nunca puede ser regular (o invertible).
b) [0,75 p.] Compruebe que la matriz $A=\left(\begin{array}{cc}3& -9\\ 1& -3\end{array}\right)$ es 2-nilpotente.
c) [1 p.] Determine para que valores de $a$ y $b$ la matriz $A=\left(\begin{array}{cc}6& a\\ 4& b\end{array}\right)$ es 2-nilpotente.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{p.]}}\mathbf{\text{Justifique}}\mathbf{\text{razonadamente}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{matriz}}\mathbf{\text{2-nilpotente}}\mathbf{\text{nunca}}\mathbf{\text{puede}}\mathbf{\text{ser}}\mathbf{\text{regular}}\mathbf{\text{(o}}\mathbf{\text{invertible).}}$

Tomamos determinantes en la condición que define a estas matrices y usamos que el determinante de un producto es el producto de los determinantes.

$A^2=0\Rightarrow \det (A^2)={[\det (A)]}^2=0$

$\det (A)=0$

Una matriz cuadrada es regular exactamente cuando su determinante no se anula, así que ninguna matriz 2-nilpotente puede serlo.



Basta calcular su cuadrado.

$A^2=\left(\begin{array}{cc}3& -9\\ 1& -3\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}3& -9\\ 1& -3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}9-9& -27+27\\ 3-3& -9+9\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$

Al ser $A^2=0$, la matriz es 2-nilpotente.



Calculamos el cuadrado en función de los dos parámetros y lo igualamos a la matriz nula, lo que da cuatro ecuaciones.

$A^2=\left(\begin{array}{cc}36+4a& 6a+ab\\ 24+4b& 4a+b^2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$

Las dos ecuaciones de la primera columna son las más sencillas y ya determinan los parámetros:

$36+4a=0\Rightarrow a=-9$

$24+4b=0\Rightarrow b=-6$

Comprobamos que estos valores anulan también las otras dos:

$6a+ab=a(6+b)=-9\cdot 0=0,4a+b^2=-36+36=0$

La matriz es 2-nilpotente únicamente para $a=-9$ y $b=-6$.