Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · Cataluña · 2023

Considere las dos matrices siguientes:

$A=\left(\begin{array}{ccc}2& -3& -5\\ -1& 4& 5\\ 1& -3& -4\end{array}\right)B=\left(\begin{array}{ccc}2& 2& 0\\ -1& -1& 0\\ 1& 2& 1\end{array}\right)$

a) Calcule las matrices $A\cdot B$ y $B\cdot A$. [1,5 puntos]
b) Sean $C$ y $D$ dos matrices cuadradas del mismo orden que satisfagan $C\cdot D=C$ y $D\cdot C=D$. Compruebe que las dos matrices, $C$ y $D$, son idempotentes. [1 punto]
Nota: Una matriz cuadrada se llama idempotente si coincide con su cuadrado.

Multiplicamos fila por columna. Las dos matrices son cuadradas de orden 3, así que los dos productos existen y son también de orden 3.

$A\cdot B=\left(\begin{array}{ccc}2& -3& -5\\ -1& 4& 5\\ 1& -3& -4\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}2& 2& 0\\ -1& -1& 0\\ 1& 2& 1\end{array}\right)$

$A\cdot B=\left(\begin{array}{ccc}4+3-5& 4+3-10& 0+0-5\\ -2-4+5& -2-4+10& 0+0+5\\ 2+3-4& 2+3-8& 0+0-4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}2& -3& -5\\ -1& 4& 5\\ 1& -3& -4\end{array}\right)$

$B\cdot A=\left(\begin{array}{ccc}2& 2& 0\\ -1& -1& 0\\ 1& 2& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}2& -3& -5\\ -1& 4& 5\\ 1& -3& -4\end{array}\right)$

$B\cdot A=\left(\begin{array}{ccc}4-2+0& -6+8+0& -10+10+0\\ -2+1+0& 3-4+0& 5-5+0\\ 2-2+1& -3+8-3& -5+10-4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}2& 2& 0\\ -1& -1& 0\\ 1& 2& 1\end{array}\right)$

Los dos productos salen iguales a uno de los factores:

$A\cdot B=A\text{y}B\cdot A=B$

Obsérvese que el producto de matrices no es conmutativo: aquí $A\cdot B\mathrm{\ne }B\cdot A$. Y las dos matrices del enunciado cumplen exactamente la relación que se estudia en el apartado siguiente.



Hay que comprobar que $C^2=C$ y que $D^2=D$. Partimos de $C^2$ y sustituimos una de las dos $C$ por la hipótesis $C=C\cdot D$; después usamos la asociatividad del producto de matrices y la otra hipótesis.

$C^2=C\cdot C=(C\cdot D)\cdot C=C\cdot (D\cdot C)=C\cdot D=C$

Razonamos igual con $D$, sustituyendo ahora $D=D\cdot C$.

$D^2=D\cdot D=(D\cdot C)\cdot D=D\cdot (C\cdot D)=D\cdot C=D$

Las dos matrices coinciden con su cuadrado, luego $C$ y $D$ son idempotentes. Nótese que solo se ha usado que el producto de matrices es asociativo, no que sea conmutativo, que es falso en general.