Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · Cataluña · 2023

Sean $A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 3& 2\end{array}\right)$, $B=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ -3& 2\end{array}\right)$ y la matriz identidad de orden dos $I=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$.

a) Compruebe que $(A-2I{)}^2=3I$. [0,5 puntos]
b) Utilizando la igualdad del apartado anterior, encuentre la matriz inversa de la matriz $A$ en función de las matrices $A$ e $I$, y compruebe que coincide con la matriz $B$. [1,25 puntos]
c) Calcule la matriz $X$ que satisface la igualdad $A\cdot X=B$. [0,75 puntos]

Calculamos primero la matriz $A-2I$ y después su cuadrado.

$A-2I=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 3& 2\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 3& 0\end{array}\right)$

$(A-2I{)}^2=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 3& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 3& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0+3& 0+0\\ 0+0& 3+0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}3& 0\\ 0& 3\end{array}\right)=3I$

Queda comprobada la igualdad $(A-2I{)}^2=3I$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Utilizando}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{igualdad}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{apartado}}\mathbf{\text{anterior,}}\mathbf{\text{encuentre}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{matriz}}\mathbf{\text{inversa}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{matriz}}\mathit{A}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{matrices}}\mathit{A}\mathbf{\text{e}}\mathit{I}\mathbf{\text{,}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{compruebe}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{coincide}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{matriz}}\mathit{B}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{(1,25}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Desarrollamos el cuadrado del apartado anterior. Se puede aplicar la fórmula del cuadrado de una diferencia porque $A$ e $I$ conmutan: $A\cdot I=I\cdot A=A$.

$(A-2I{)}^2=A^2-4AI+4I^2=A^2-4A+4I$

$A^2-4A+4I=3I\Rightarrow A^2-4A+I=O$

Despejamos la identidad y sacamos $A$ como factor común, que es lo que permite reconocer la inversa.

$I=4A-A^2=A(4I-A)$

Como también $(4I-A)A=4A-A^2=I$, la matriz $4I-A$ es la inversa de $A$.

$A^{-1}=4I-A$

$A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}4& 0\\ 0& 4\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 3& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ -3& 2\end{array}\right)=B$

La inversa de $A$ es $A^{-1}=4I-A$, que coincide efectivamente con la matriz $B$ del enunciado.



Multiplicamos los dos miembros por la izquierda por $A^{-1}$, que existe por el apartado anterior. Hay que hacerlo por la izquierda porque el producto de matrices no es conmutativo.

$A^{-1}AX=A^{-1}B\Rightarrow IX=A^{-1}B\Rightarrow X=A^{-1}B$

Y como $A^{-1}=B$, resulta $X=B\cdot B=B^2$.

$X=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ -3& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ -3& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}4+3& -2-2\\ -6-6& 3+4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}7& -4\\ -12& 7\end{array}\right)$

Comprobamos el resultado:

$A\cdot X=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 3& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}7& -4\\ -12& 7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}14-12& -8+7\\ 21-24& -12+14\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ -3& 2\end{array}\right)=B$

La matriz pedida es $X=\left(\begin{array}{cc}7& -4\\ -12& 7\end{array}\right)$.