Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · Cataluña · 2022

Sea la matriz $X=\left(\begin{array}{ccc}a& 1& 0\\ 0& b& 1\\ 0& 0& c\end{array}\right)$, que depende de los parámetros $a$, $b$ y $c$.

a) Calcule las matrices $X$ tales que $X^2=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$. [1,5 puntos]
b) Determine los valores de $a$, $b$ y $c$ para que la matriz inversa de $X$ sea $X^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{2}& -\frac{1}{2}& -\frac{1}{2}\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& -1\end{array}\right)$. [1 punto]

Elevamos al cuadrado la matriz del enunciado dejando los parámetros indicados y después igualamos elemento a elemento.

$X^2=\left(\begin{array}{ccc}a& 1& 0\\ 0& b& 1\\ 0& 0& c\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}a& 1& 0\\ 0& b& 1\\ 0& 0& c\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}{a}^2& a+b& 1\\ 0& b^2& b+c\\ 0& 0& c^2\end{array}\right)$

El elemento de la primera fila y tercera columna vale 1 sin depender de los parámetros, y coincide ya con el que pide el enunciado. Las condiciones restantes son:

$\{\begin{array}{l}{a}^2=1\\ a+b=0\\ b^2=1\\ b+c=0\\ c^2=1\end{array}$

$a^2=1\Rightarrow a=\pm 1$

$a+b=0\Rightarrow b=-a,b+c=0\Rightarrow c=-b=a$

Con esto, $b^2=a^2=1$ y $c^2=a^2=1$ se cumplen solas, así que solo hay dos soluciones, una por cada signo de $a$.

$a=1\Rightarrow b=-1,c=1\Rightarrow X_1=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& -1& 1\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$

$a=-1\Rightarrow b=1,c=-1\Rightarrow X_2=\left(\begin{array}{ccc}-1& 1& 0\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& -1\end{array}\right)$

Hay dos matrices que cumplen la condición, $X_1$ y $X_2$, que son opuestas una de la otra salvo en la diagonal secundaria.



Si esa matriz es la inversa de $X$, su producto por $X$ ha de ser la identidad. Multiplicamos e igualamos.

$X\cdot X^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}a& 1& 0\\ 0& b& 1\\ 0& 0& c\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{2}& -\frac{1}{2}& -\frac{1}{2}\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}\frac{a}{2}& -\frac{a}{2}+1& -\frac{a}{2}+1\\ 0& b& b-1\\ 0& 0& -c\end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{ccc}\frac{a}{2}& -\frac{a}{2}+1& -\frac{a}{2}+1\\ 0& b& b-1\\ 0& 0& -c\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$

${\displaystyle \frac{a}{2}}=1\Rightarrow a=2$

$b=1$

$-c=1\Rightarrow c=-1$

Comprobamos que los tres valores son compatibles con las posiciones restantes: $-\frac{a}{2}+1=-1+1=0$ y $b-1=1-1=0$, como debe ser.

Los valores pedidos son $a=2$, $b=1$ y $c=-1$, es decir, $X=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 0\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& -1\end{array}\right)$.