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Examen de Matemáticas II de Cataluña 2022 (convocatoria ordinaria)

Ejercicios del examen de selectividad de Matemáticas II de Cataluña, convocatoria ordinaria de 2022. Aquí hay 6 ejercicios publicados, 6 con la solución desarrollada. El enunciado completo es el del PDF oficial.

Descargar el PDF oficial del examen

Ejercicio 1: Integrales y Áreas

Sea

f^{'} (x) = 3 x^{2} - 12 x

la derivada de una función

f (x)

.

a) Si sabemos que

f (x)

corta el eje de abscisas en

x = 1

, calcule la expresión de la función

f (x)

. [0,75 puntos]
b) Calcule la abscisa del punto de inflexión de

f (x)

y estudie la concavidad de la función. [0,75 puntos]
c) Sabemos que el área del recinto limitado por la curva

y = f^{''} (x)

, el eje de abscisas y las rectas

x = 0

x = a

, con

a > 2

, es

15 u^{2}

. Calcule el valor de

a

. [1 punto]

Ver la solución del ejercicio 1

Ejercicio 2: Sistemas de ecuaciones

Considere el sistema de ecuaciones lineales siguiente, que depende del parámetro real

a

{\begin{cases} a x + 2 y + 3 z = 2 \\ 2 x + a y + z = a \\ x + y + 4 z = 1 \end{cases}

a) Discuta el sistema para los diferentes valores del parámetro

a

. [1,5 puntos]
b) Resuelva, si es posible, el sistema para el caso

a = 2

. [1 punto]

Ver la solución del ejercicio 2

Ejercicio 3: Rectas y Planos

Sea la recta

r

definida por la expresión siguiente:

r : {\begin{cases} x = 2 + λ \\ y = - 1 + 3 λ \\ z = 3 + λ \end{cases}

a) Determine la posición relativa de la recta

r

respecto al plano

π : x - 2 y + 4 z - 4 = 0

. Si es paralela, calcule la distancia de

r

π

, y si es secante, calcule el punto de corte. [1,25 puntos]
b) Calcule la ecuación de la recta

s

perpendicular al plano

π

y que corta la recta

r

en un punto

P

, cuya primera coordenada es 5 veces mayor que la segunda. [1,25 puntos]

Ver la solución del ejercicio 3

Ejercicio 4: Integrales y Áreas

a) Encuentre una función polinómica

y = g (x)

de grado 3 tal que corte el eje de ordenadas en el punto

(0, 5)

, que la recta tangente a

y = g (x)

en el punto de abscisa

x = 1

sea horizontal y que

g^{''} (x) = 2 x + 1

. [1 punto]
b) Compruebe que la función

f (x) = - x^{3} + 6 x^{2} - 16

tiene una raíz en

x = 2

y que es estrictamente creciente en el intervalo

(0, 4)

. Utilice esta información para calcular el área determinada por la función

f (x)

, el eje de abscisas y las rectas

x = 0

x = 4

. [1,5 puntos]

Ver la solución del ejercicio 4

Ejercicio 5: Matrices

Sea la matriz

X = (\begin{array}{ccc} a & 1 & 0 \\ 0 & b & 1 \\ 0 & 0 & c \end{array})

, que depende de los parámetros

a

b

c

.

a) Calcule las matrices

X

tales que

X^{2} = (\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array})

. [1,5 puntos]
b) Determine los valores de

a

b

c

para que la matriz inversa de

X

sea

X^{- 1} = (\begin{array}{ccc} \frac{1}{2} & - \frac{1}{2} & - \frac{1}{2} \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & - 1 \end{array})

. [1 punto]

Ver la solución del ejercicio 5

Ejercicio 6: Optimización

En el patio de una escuela se quiere crear un área de juego de

30 m^{2}

para los más pequeños en forma de trapecio rectangular, de manera que la base mayor mida el doble que la base menor, tal como muestra la figura, y que el lado oblicuo respecto a las bases (

D

) sea tan corto como sea posible.

Figura del ejercicio

a) Justifique que se satisfacen las relaciones siguientes:

h = \frac{20}{x}

D (x) = \sqrt{\frac{400}{x^{2}} + x^{2}}

. [1 punto]
b) Encuentre las dimensiones del trapecio para las cuales la longitud del lado

D

es mínima. [1,5 puntos]

Ver la solución del ejercicio 6

Examen de Matemáticas II de Cataluña 2022 (convocatoria ordinaria)

Ejercicio 1: Integrales y Áreas

Ejercicio 2: Sistemas de ecuaciones

Ejercicio 3: Rectas y Planos

Ejercicio 4: Integrales y Áreas

Ejercicio 5: Matrices

Ejercicio 6: Optimización

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