Examen de Matemáticas II de Cataluña 2022 (convocatoria extraordinaria)

El palo central que sostiene la lona de la carpa de un circo se sitúa perpendicularmente sobre el plano de un suelo cuya ecuación es $\pi :x-z=6$. Sabemos que la cúpula de la carpa (el punto más alto por donde pasa el palo) está en el punto de coordenadas $P=(30,1,0)$.

a) Calcule la ecuación paramétrica de la recta que contiene el palo. [1 punto]
b) Calcule las coordenadas del punto de contacto del palo con el suelo, y la longitud del palo. [1,5 puntos]

Considere la función $f(x)={\displaystyle \frac{9}{x^2+x-2}}$.

a) Determine el dominio, las posibles asíntotas, los extremos relativos y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función. [1,25 puntos]
b) Calcule la ecuación general de la recta tangente a la función $f(x)$ en el punto de abscisa $x=4$. Represente en un mismo gráfico la función $f(x)$ y la recta tangente. [1,25 puntos]

Considere la matriz $A=\left(\begin{array}{ccc}1& a& 3\\ 2a& 5& 3a\\ 7& 4a& 9\end{array}\right)$, que depende del parámetro $a$.

a) Calcule el rango de la matriz $A$ para los diferentes valores del parámetro $a$. [1,25 puntos]
b) Si $X=\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)$, resuelva la ecuación matricial siguiente: $\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right)\cdot X=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right)$. [1,25 puntos]

a) Considere la función $f(x)=\{\begin{array}{ll}\ln (x),& \text{si }x\in (0,\mathrm{e})\\ ax+b,& \text{si }x\in [\mathrm{e},4)\end{array}$, donde $a$ y $b$ son números reales. Encuentre el valor de $a$ y de $b$ para que la función sea continua y derivable en el intervalo $(0,4)$. [1,25 puntos]
b) Calcule la función $g(x)$ que satisface $g^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{x^3}{9x^4+1}}$ y que pasa por el punto $(0,-1)$. [1,25 puntos]

Sea la matriz $A=\left(\begin{array}{ccc}a& a& 0\\ 2& a+1& a-1\\ 2a+1& 0& -a-3\end{array}\right)$, donde $a$ es un parámetro real.

a) Calcule los valores del parámetro $a$ para los cuales la matriz $A$ es invertible. [1,25 puntos]
b) Para el caso $a=3$, resuelva la ecuación $A\cdot X=B-3I$, donde $B=\left(\begin{array}{ccc}4& 0& 0\\ 0& 4& 0\\ 0& 0& 4\end{array}\right)$. [1,25 puntos]

La imagen siguiente muestra dos paredes perpendiculares de una sala representadas en unos ejes de coordenadas, de manera que una pared está en el plano $y=0$ y la otra está en el plano $x=0$.



En el punto $A=(2,0,2)$ queremos colgar un altavoz que ha de estar conectado a un equipo de sonido, que está situado en la otra pared, en el punto $B=(0,2,1)$. La conexión entre $A$ y $B$ la haremos mediante un cable que pase por el punto $C=(0,0,h)$, situado en la recta vertical de intersección de las dos paredes. Como la calidad del sonido depende, entre otros factores, de la longitud del cable que une los dos aparatos, queremos hacer una instalación con el mínimo de cable posible.
a) Compruebe que la longitud total del cable necesario, en función de la altura $h$ por donde ha de pasar el cable en el eje vertical $OZ$, viene dada por la expresión $L(h)=\sqrt{h^2-4h+8}+\sqrt{h^2-2h+5}$. [0,75 puntos]
b) Calcule las coordenadas del punto $C$ por donde ha de pasar el cable para que la longitud del cable sea mínima. Calcule esta longitud mínima del cable. [1,75 puntos]