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Examen de Matemáticas II de Cataluña 2021 (convocatoria extraordinaria)

Ejercicios del examen de selectividad de Matemáticas II de Cataluña, convocatoria extraordinaria de 2021. Aquí hay 6 ejercicios publicados, 6 con la solución desarrollada. El enunciado completo es el del PDF oficial.

Descargar el PDF oficial del examen

Ejercicio 1: Sistemas de ecuaciones

Considere el sistema de ecuaciones lineales siguiente, que depende del parámetro real

k

{\begin{cases} x + k y + z = 3 + k \\ k x + y + z = 4 \\ x + 3 y + z = 5 \end{cases}

a) Discuta el sistema para los diferentes valores del parámetro

k

. [1,25 puntos]
b) Resuelva el sistema para el caso

k = 2

. [1,25 puntos]

Ver la solución del ejercicio 1

Ejercicio 2: Integrales y Áreas

a) Dada la función

f (x) = \frac{4}{x}

, calcule la ecuación de la recta tangente a

y = f (x)

en el punto de abscisa

x = 1

. Encuentre también la ecuación de la recta normal a

y = f (x)

en este mismo punto. [1,25 puntos]
b) Haga un esbozo de las gráficas de la curva

y = f (x)

y de la recta

4 x + y = 8

, y calcule el área delimitada por estas dos gráficas, el eje de abscisas y la recta vertical

x = 3

. [1,25 puntos]

Ver la solución del ejercicio 2

Ejercicio 3: Volúmenes

R^{3}

se dan los puntos

A = (3, 1, 1)

B = (0, 0, 1)

C = (4, 1, 2)

D = (1, 1, t)

, donde

t

es un valor real.

a) ¿Para qué valor de

t

los cuatro puntos son coplanarios? [1 punto]
b) Encuentre el valor de

t

para que el tetraedro (irregular) que forman los cuatro puntos tenga un volumen de

5 u^{3}

. [1,5 puntos]
Nota: El volumen de un tetraedro definido por los vectores

{\vec{v}}_{1}

{\vec{v}}_{2}

{\vec{v}}_{3}

es igual a un sexto del valor absoluto del determinante de la matriz formada por los tres vectores,

V = \frac{1}{6} ∣ \det ({\vec{v}}_{1}, {\vec{v}}_{2}, {\vec{v}}_{3}) ∣

Ver la solución del ejercicio 3

Ejercicio 4: Derivadas

a) En la figura se muestra la gráfica de la función

f (x)

. Represente de manera esquemática la gráfica de la función derivada de

f (x)

. Explique el razonamiento que ha seguido. [1,25 puntos]
Figura del ejercicio

b) Calcule los valores de

a

b

para que la función

g (x) = a x^{3} + b x^{2} + 1

tenga un punto de inflexión en

x = \frac{1}{2}

y su derivada en este punto sea

\frac{- 3}{2}

. [1,25 puntos]

Ver la solución del ejercicio 4

Ejercicio 5: Matrices

Sea la matriz

A = (\begin{array}{ccc} a & a & 0 \\ 2 & a + 1 & a - 1 \\ 2 a + 1 & 0 & - a - 3 \end{array})

, donde

a

es un parámetro real.

a) Encuentre para qué valores de

a

la matriz

A

es invertible. [1 punto]
b) Compruebe que, para el caso

a = 3

, la matriz

A

es invertible y resuelva la ecuación matricial

A X = B - 3 I

, donde

B

es la matriz

B = (\begin{array}{ccc} 6 & 3 & 3 \\ 2 & 5 & 2 \\ 1 & 1 & 4 \end{array})

. [1,5 puntos]

Ver la solución del ejercicio 5

Ejercicio 6: Funciones

Considere la función

f (x) = \frac{x^{3}}{x - 2}

.

a) Estudie si tiene puntos críticos y, en caso de que tenga, justifique de qué tipo son. Determine también cuáles son los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función. [1,5 puntos]
b) Compruebe que la ecuación

f (x) = 0

tiene una única solución en el intervalo

(- 2, 1)

. [1 punto]

Ver la solución del ejercicio 6

Examen de Matemáticas II de Cataluña 2021 (convocatoria extraordinaria)

Ejercicio 1: Sistemas de ecuaciones

Ejercicio 2: Integrales y Áreas

Ejercicio 3: Volúmenes

Ejercicio 4: Derivadas

Ejercicio 5: Matrices

Ejercicio 6: Funciones

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