Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2021

a) Dada la función $f(x)={\displaystyle \frac{4}{x}}$, calcule la ecuación de la recta tangente a $y=f(x)$ en el punto de abscisa $x=1$. Encuentre también la ecuación de la recta normal a $y=f(x)$ en este mismo punto. [1,25 puntos]
b) Haga un esbozo de las gráficas de la curva $y=f(x)$ y de la recta $4x+y=8$, y calcule el área delimitada por estas dos gráficas, el eje de abscisas y la recta vertical $x=3$. [1,25 puntos]

La recta tangente tiene por pendiente la derivada en el punto, y la normal es la perpendicular a la tangente por ese mismo punto, de pendiente el opuesto del inverso.

$f(x)={\displaystyle \frac{4}{x}}=4x^{-1}\Rightarrow f^{\mathrm{\prime }}(x)=-4x^{-2}=-{\displaystyle \frac{4}{x^2}}$

$f(1)=4,f^{\mathrm{\prime }}(1)=-4$

$y-4=-4(x-1)\Rightarrow y=-4x+8\Rightarrow 4x+y=8$

$m_{\text{normal}}=-{\displaystyle \frac{1}{f^{\mathrm{\prime }}(1)}}=-{\displaystyle \frac{1}{-4}}={\displaystyle \frac{1}{4}}$

$y-4={\displaystyle \frac{1}{4}}(x-1)\Rightarrow y={\displaystyle \frac{x}{4}}+{\displaystyle \frac{15}{4}}$

La recta tangente en el punto $(1,4)$ es $4x+y=8$ y la recta normal es $y={\displaystyle \frac{x}{4}}+{\displaystyle \frac{15}{4}}$.



La recta del enunciado es precisamente la tangente del apartado anterior, así que toca a la hipérbola en $(1,4)$ y por lo demás queda por debajo de ella. Corta al eje de abscisas en

$y=0\Rightarrow 4x=8\Rightarrow x=2$



El recinto está limitado por arriba por la hipérbola, desde el punto de tangencia hasta $x=3$; por abajo, primero por la recta (de $x=1$ a $x=2$) y luego por el eje de abscisas (de $x=2$ a $x=3$). Hay que partirlo, por tanto, en dos integrales.

$A_1={\int }_1^2[{\displaystyle \frac{4}{x}}-(8-4x)]dx={[4\ln \mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }-8x+2x^2]}_1^2$

$A_1=(4\ln 2-16+8)-(0-8+2)=4\ln 2-8+6=4\ln 2-2$

$A_2={\int }_2^3{\displaystyle \frac{4}{x}}dx={[4\ln \mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }]}_2^3=4\ln 3-4\ln 2$

$A=A_1+A_2=4\ln 2-2+4\ln 3-4\ln 2=4\ln 3-2\approx \mathrm{2,39}$

El área del recinto es $4\ln 3-2\approx \mathrm{2,39}$ unidades cuadradas.