Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2023

Represente la región comprendida entre la curva $f(x)={\displaystyle \frac{2x}{x^2+1}}$, el eje de abscisas (eje $OX$) y las rectas $x=0$ y $x=7$. Calcule su área. [10 puntos]

Empezamos estudiando la curva para poder dibujarla. El denominador $x^2+1$ no se anula nunca, de modo que el dominio es todo $\mathbb{R}$ y no hay asíntotas verticales.

$f(x)=0\Rightarrow 2x=0\Rightarrow x=0$

El único corte con los ejes es el origen, y para $x>0$ la función es positiva, ya que numerador y denominador lo son.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{2(x^2+1)-2x\cdot 2x}{(x^2+1{)}^2}}={\displaystyle \frac{2-2x^2}{(x^2+1{)}^2}}$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow 2-2x^2=0\Rightarrow x=\pm 1$

En el intervalo que nos ocupa, la función crece hasta $x=1$, donde alcanza el máximo $f(1)=1$, y decrece después acercándose a la asíntota horizontal $y=0$.



Como la función es positiva en todo $[0,7]$, el área es la integral definida sin partirla. El integrando es casi la derivada del denominador dividida por él, así que la primitiva es un logaritmo.

$\mathcal{A}={\int }_0^7{\displaystyle \frac{2x}{x^2+1}}dx$

$\int {\displaystyle \frac{2x}{x^2+1}}dx=\ln (x^2+1)+C$

$\mathcal{A}={[\ln (x^2+1)]}_0^7=\ln 50-\ln 1$

$\mathcal{A}=\ln 50\approx \mathrm{3,912}$

El área de la región es $\ln 50\approx \mathrm{3,91}$ unidades de área.