Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2020

Considere la función

$f(x)={\displaystyle \frac{1}{(x-3)(x+3)}}\mathrm{.}$

a) Determine: el dominio, los intervalos de crecimiento y decrecimiento, las coordenadas de los máximos y mínimos y el ${\lim }_{x\to \pm \mathrm{\infty }}f(x)$. [2 puntos]

b) Haga un esbozo de la gráfica. [1 punto]

c) Obtenga los valores de $A$ y $B$ para los cuales

$f(x)={\displaystyle \frac{A}{x-3}}+{\displaystyle \frac{B}{x+3}}\mathrm{.}$ [3 puntos]

d) Calcule el área de la región limitada por la gráfica de la función, el eje $OX$ y las rectas de ecuaciones $x=-2$ y $x=2$. [4 puntos]

El dominio lo marcan los ceros del denominador.

$(x-3)(x+3)=0\Rightarrow x=3,x=-3\Rightarrow \text{Dom}f=\mathbb{R}-\{-3,3\}$

Derivamos con la regla del cociente, escribiendo antes el denominador desarrollado:

$f(x)={\displaystyle \frac{1}{x^2-9}}\Rightarrow f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{-2x}{{(x^2-9)}^2}}$

El denominador es un cuadrado, siempre positivo en el dominio, así que el signo lo da el numerador:

$-2x>0\iff x<0$

La función es creciente en $(-\mathrm{\infty },-3)\cup (-3,0)$ y decreciente en $(0,3)\cup (3,+\mathrm{\infty })$.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow x=0\Rightarrow f(0)=-{\displaystyle \frac{1}{9}}$

Hay un máximo relativo en $(0,-\frac{1}{9})$ y ningún mínimo.

${\lim }_{x\to \pm \mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{x^2-9}}=0$

de modo que $y=0$ es asíntota horizontal, y $x=-3$ y $x=3$ son asíntotas verticales.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Haga}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{esbozo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{gr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{fica.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Con lo anterior, y teniendo en cuenta que la función es par —$f(-x)=f(x)$—, la gráfica tiene tres ramas simétricas respecto del eje de ordenadas: las dos exteriores, positivas, y la central, negativa.





Se trata de la descomposición en fracciones simples. Reducimos a común denominador e igualamos los numeradores.

${\displaystyle \frac{1}{(x-3)(x+3)}}={\displaystyle \frac{A(x+3)+B(x-3)}{(x-3)(x+3)}}$

$1=A(x+3)+B(x-3)$

Damos a $x$ los valores que anulan cada paréntesis:

$x=3\Rightarrow 1=6A\Rightarrow A={\displaystyle \frac{1}{6}}$

$x=-3\Rightarrow 1=-6B\Rightarrow B=-{\displaystyle \frac{1}{6}}$



En el intervalo $[-2,2]$ se tiene $x^2-9<0$, de modo que la función es negativa: la integral saldrá con signo menos y el área será su valor absoluto.

$\int f(x)dx={\displaystyle \frac{1}{6}}\ln \mathrm{\mid }x-3\mathrm{\mid }-{\displaystyle \frac{1}{6}}\ln \mathrm{\mid }x+3\mathrm{\mid }+C={\displaystyle \frac{1}{6}}\ln \mid {\displaystyle \frac{x-3}{x+3}}\mid +C$

${\int }_{-2}^{2}f(x)dx={[{\displaystyle \frac{1}{6}}\ln \mid {\displaystyle \frac{x-3}{x+3}}\mid ]}_{-2}^2={\displaystyle \frac{1}{6}}\ln {\displaystyle \frac{1}{5}}-{\displaystyle \frac{1}{6}}\ln 5$

$=-{\displaystyle \frac{1}{6}}\ln 5-{\displaystyle \frac{1}{6}}\ln 5=-{\displaystyle \frac{\ln 5}{3}}$

$\mathcal{A}=\mid -{\displaystyle \frac{\ln 5}{3}}\mid ={\displaystyle \frac{\ln 5}{3}}\approx \mathrm{0,5365}$

El área de la región es ${\displaystyle \frac{\ln 5}{3}}\approx \mathrm{0,54}$ unidades de área.